Jesu li neke beskrajnosti veće od drugih?

Najljepši matematički dokazi, god. 1, Maxime Coutte.

Kao sporedna napomena nisam matematičar, već srednjoškolac - koji nije pohađao školu čitavu godinu - a uglavnom entuzijasta i programer informatike. To je rečeno, podučavao sam matematiku i želim podijeliti ljepotu nekih od mojih najdražih matematičkih dokaza u ovoj seriji.

Znate li kako brojati?

Kada se pitate mogu li neke beskonačnosti biti veće od drugih, važno je znati što znači "veće", a to uključuje i definiranje obradivosti. To možemo shvatiti iz stvarnog životnog iskustva: kada brojite jabuke, svakoj pripisujete jedan broj, počevši od 1 i povećavajući se sa 1 svaki put dok više nema jabuka za brojanje.

Drugim riječima, uparujete svaku jabuku ili bilo koji element skupa (ili košarice) s jedinstvenim pozitivnim cijelim brojem. Stoga možemo definirati brojiv skup kao skup za koji možemo svaki par spojiti u jedan jedinstveni element N, skup prirodnih brojeva {0, 1, 2,. , .}.

Vrijedi napomenuti da možemo upariti svaki element N, skup prirodnih brojeva, sa svakim elementom sebe. Stoga je N mjerljivo beskonačan skup; mogli bismo računati svaki broj beskonačnog popisa prirodnih brojeva, kada bismo imali beskonačno mnogo vremena ...

Postoji li više prirodnih brojeva od prirodnih brojeva?

Je Z, skup svih cijelih brojeva {…, -2, −1,0,1,2,…} veći od N, skup prirodnih brojeva {0, 1, 2,. , }.? Čini se čudnim pitanjem, zar ne? Još se sjećam uzbuđenja i radosti koje su moj najbolji prijatelj i ja dijelili u srednjoj školi kad smo iznenađujuće jedno drugome dokazali da je Z zapravo iste veličine kao N. Ovdje, točan izraz zapravo nije "veličina", ali " kardinalnost “, što znači broj elemenata u skupu.

Dokaz je zapravo vrlo jednostavan, svaki negativni broj skupa Z možemo upariti s jedinstvenim prirodnim neparnim brojem i upariti svaki pozitivan broj skupa Z s jedinstvenim parnim brojem. Stoga možemo računati Z s N.

Iako bismo mogli pomisliti da postoji više pozitivnih i negativnih cjelobrojnih brojeva nego što postoje samo pozitivni cijeli brojevi, svaki par Z možemo upariti s jedinstvenim elementom N.

Neke stvari koje ne biste mogli računati ni s neograničenim količinom vremena,

Ovdje ćemo dokazati da je skup R svih stvarnih brojeva nebrojiv i to ćemo raditi koristeći Cantorin dijagonalni argument.

Prvo, pretpostavljamo da možemo navesti sve stvarne brojeve između 0 i 1,

Na primjer, možemo pretpostaviti da

Sada razmotrite broj d,

d, načinjen dijagonalom našeg popisa. Prva znamenka d je prva znamenka prvog broja popisa, druga znamenka d je druga znamenka drugog broja popisa i tako dalje dodavanje znamenki dijagonalno za cijeli popis.

Dakle, za bilo koji ja,

Na primjer, s obzirom na ovaj popis,

Sada konstruiramo broj x,

tako da je i-ta znamenka x različita od i-te znamenke d i nije jednaka 9, dakle

Na primjer, za d = 0,16392 ... možemo konstruirati x = 0,27413 ... i nastaviti za svaku znamenku d jer čak i ako je xi ≠ di, postoji još 8 mogućih znamenki.

Sada možemo dokazati da nedostaje x sa popisa svih stvarnih brojeva između 0 i 1.

Po konstrukciji se prva znamenka x razlikuje od prve znamenke d, a prva znamenka d je prva znamenka prvog broja popisa. Dakle, x ne može biti prvi broj popisa s obzirom da ima drugu prvu znamenku.

Po konstrukciji, druga znamenka x razlikuje se od druge znamenke d, a druga znamenka d je druga znamenka drugog broja popisa. Dakle, x ne može biti drugi broj popisa s obzirom da ima drugu drugu znamenku. To vrijedi za sve brojeve na popisu.

Drugim riječima,

što po konstrukciji ne može biti istinito,

Pokazali smo da ako stvorite popis svih stvarnih brojeva između 0 i 1, x će uvijek nedostajati. Ta kontradikcija dokazuje da je skup svih stvarnih brojeva između 0 i 1 nebrojiv, i da je stoga R, skup svih stvarnih brojeva, također, nebrojiv. Ne možete upariti svaki stvarni broj s jedinstvenim prirodnim brojem.

To znači da je kardinalnost R veća od kardinalnosti N, stoga su neke beskonačnosti veće od drugih.

Reference, Georg Cantor. "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre". 1891.

Ja sam Maxime Coutte, suosnivač Relativty.com-a, VR slušalice koju sam dizajnirao od početka, od čega sam otvorio izvorni kod i hardver. Obožavam učiti i zanima me veliki broj predmeta.
Možete me pratiti na Twitteru @maximecoutte.