Samo krenite s protokom: matematika tekućine

Serija kava + matematika

To je Jake

Imamo tim prepun matematičara, učitelja matematike i entuzijasta iz matematike. Svoju strast prema matematici želimo podijeliti sa svima pa smo odlučili pokrenuti novu seriju pod nazivom Coffee + Math.

Kava + matematika je jednostavna koliko i zvuči. Pijemo kavu i razgovaramo o našim omiljenim matematičkim jednadžbama, činjenicama matematike i drugim matematičkim sitnicama.

Ovaj smo tjedan popili kavu s Jakeom Horderom, rezidentnim matematičarom i kvalificiranim inženjerom zaštite okoliša, kako bismo saznali više o njegovoj omiljenoj matematičkoj jednadžbi.

Kava po izboru?

Pojedinačno porijeklo, crno, bez šećera.

Koja je vaša omiljena matematička jednadžba?

Moj osobni favorit je Navier-Stokesova jednadžba.

Nacrtajte to za nas!

Wow! Nije loše za serviette skicu

Ok ... Možete li to prevesti na engleski?

Naravno! Zamislite da vašu kafu čini puno sitnih paketića tekućine.

Koji su načini da se svaka pošiljka može vremenom mijenjati?

Savjet: Paketa se može pomicati, protezati, uvijati ili vrtjeti ovisno o silama koje se primjenjuju na nju.

Lijeva strana Navier-Stokesove jednadžbe je inercija; mjera koliko je teško mijenjati brzinu i smjer paketa.

Inercija je sastavljena od pojmova koji opisuju kako se brzina mijenja u vremenu i prostoru.

Tko je znao da Jake može tako dobro crtati ?!

Desna strana jednadžbe sadrži sile koje djeluju na parcelu, stvari koje bi je mogle natjerati da se pomiče, uvija i deformira. Oni uključuju površinske sile poput tlaka i trenja iz susjednih parcela tekućine kao i silu na cijelu parcelu zbog gravitacije.

Ako zbrojimo učinak koji sve paketi imaju jedna na drugu dok se kreću unutar šalice, tada ćemo dobiti opis ponašanja kave u cjelini.

Navier-Stokesova jednadžba je u osnovi Newtonov drugi zakon, F = ma, ali za tekućine.

Zašto vas toliko zanima ova jednadžba?

Jedriti sam počeo kad sam bio sasvim mlad. Mnogo sam umijeća pokupio od mornara, ali često sam se osjećao kao da slijedim pravila, a da ne razumijem zašto.

Zašto je brod morao usmjeriti na određeni način? Zašto signalne jedinice moraju biti ravne? Zašto je sekundarno jedro ispred glavnog jedra (najveće jedro)?

Godinama kasnije shvatio sam da se puno mojih jedrenjačkih sposobnosti može objasniti proučavanjem fizike i matematike.

Bilo je zaista uzbudljivo pronaći veze između onoga što sam naučio tijekom mojih sveučilišnih predavanja mehanike fluida i onoga čega sam se uvijek pitao u svom svakodnevnom životu.

Ravno krilo djeluje tako da okreće smjer protočnog polja, stalno bacajući zrak prema dolje, što zauzvrat podiže ravninu prema gore (vidi Newtonov treći zakon kretanja). Naravno da je to isto kao i glavno jedro na mom Hobie katamaranu, koji vijuga vjetar oko njega da me povuče duž vode.

Err, možda nije tako dobar umjetnik kao što smo prvo mislili ... Samo u slučaju da ne možete znati, gornja slika je avion, a donja jedrilica!

Mislim na zastavu koja vijori na povjetarcu, na periodično naprijed-natrag dok se uz svaku buru vijugaju vrtlozi. Jasno je da isti taj fenomen uzrujava moj glavni štitnik ako pokažem previsoki vjetar, zrak se više ne može zalijepiti za jedro i počne se probijati nad sobom.

Povratak na A igru.

Ovi i mnogi drugi svakodnevni susreti s tekućinama potiču od ideja zarobljenih u Navier-Stokesovoj jednadžbi. Osjećam da dublje razumijevanje prirode fluida proizlazi iz mogućnosti čitanja matematike u toku. I do sada je to bilo vrlo zadovoljavajuće putovanje.

Kako je ova jednadžba korisna izvan jedrenja ?!

Tekućine su posvuda. Znanje o jednadžbi gibanja fluida može nam dati bolje razumijevanje mnogih cool prirodnih pojava.

Je li oobleck krutina ili tekućina? Kako izgleda godina globalnog vremena? Kako nastaje spiralna galaksija?

Također se možemo koristiti Navier-Stokesovom jednadžbom da nas usmjeri u dizajniranju učinkovitih struktura, strojeva i uređaja koji su uronjeni u tekućinu ili sadrže. Možemo razmotriti strujanje zraka pored vjetroturbine, izgraditi brži vlak ili čak modelirati kako se krv može kretati kroz umjetno srce.

Bez znanja o Navier-Stokesovoj jednadžbi, jedini drugi način na koji bismo to mogli zamisliti jest pogodenje i provjera, a to postaje jako skupo (da ne spominjemo dugotrajno)!

Možete li nam reći o povijesti ove jednadžbe?

Naše samo postojanje ovisi o vodi. Dakle, proučavanje ponašanja vode i ostalih tekućina datira već tisućama godina.

Archimedes i drugi grčki mislioci učinili su mnoga važna zapažanja koristeći matematiku i tehnologiju svoga doba, ali s Newtonovim izumom izračuna u 1600-im, znanstvenicima poput Clauda-Louisa Naviera i Sir Georgea Stokesa, bio je dostupniji sofisticiraniji matematički alat za precizno prilagođavanje naše razumijevanje.

Navier je bio francuski inženjer koji je pokrenuo studiju kako se strukture savijaju, uvijaju i deformiraju i nastavio je primjenjivati ​​iste ideje o stresu i deformaciji na fluide. U 1840-im je Stokes, između mnogih drugih dostignuća, taj odnos matematički formalizirao u poznatu Navier-Stokesovu jednadžbu.

Još nešto za dodati?

Pa, da, zapravo.

Bilo je mnogo pokušaja pronalaženja korisnih rješenja jednadžbe, metoda izazivanja interesnih varijabli poput polja brzine i tlaka. To je izuzetno teško i trenutno još uvijek ne postoji poznato rješenje za cijelu Navier-Stokesovu jednadžbu - čak i ne znamo postoji li!

To znači da danas većina aplikacija koristi numeričke aproksimacije jednadžbe koje rješavaju vrlo moćna računala. Ovo je zanimljivo samo područje proučavanja i poznato je kao računska dinamika fluida.

Ali, evo nešto zanimljivo ... Ako možete pronaći rješenje za cijelu Navier-Stokesovu jednadžbu, tada će vam Institut za matematiku iz gline dati 1.000.000 dolara.

Stoga prestanite čitati i počnite pokušavati pronaći rješenje ove jednadžbe!

Ili, ako želite i dalje čitati, pogledajte sljedeći intervju s Coffee + Math-om na temu Vjerojatnost i statistika!