QC - kontrolirajte kvantno računanje s unitarnim operaterima, smetnje i zapletenost

Fotografiju Sagar Dani

Sjajno. Upravo smo završili 2. dio na Qubitu (Quantum bit - temeljni gradivni blok za kvantno računanje). Pa kako to možemo kontrolirati? Za razliku od klasičnog računanja, na qubits ne primjenjujemo logičke operacije ili uobičajenu aritmetiku. U kvantnom računanju nema „dok je izjava“ ili „izjava grananja“. Umjesto toga, razvijamo unitarne operatore za manipulaciju kbitima s principom interferencije u kvantnoj mehanici. Zvuči fantastično, ali zapravo vrlo izravno. Pogledat ćemo u koncept unitarnih operatora. Kao sporednu napomenu pogledat ćemo njegov odnos sa Schrodingerovom jednadžbom, tako da ne oblikujemo koncept protiv prirode. Napokon, gledamo u zaplete, mistični kvantni fenomen.

Kvantna vrata

U klasičnim računalima primjenjujemo osnovne logičke operatere (NOT, NAND, XOR, AND, OR) na bitove kako bismo izgradili složene operacije. Na primjer, sljedeći je dodavač s jednim bitom sa nosačem.

Kvantna računala imaju potpuno različite osnovne operatore koji se nazivaju kvantna vrata. Ne rekompiliramo postojeći C ++ program za pokretanje na kvantnom računalu. Oboje imaju različite operatore, a kvantno računanje zahtijeva različite algoritme da bi ih iskoristili. U kvantnom računanju radi se o manipuliranju kubitima, umetanjem u njih i mjerenju. Vratimo se Bloch sferi. Koncepcijski, operacije kvantnog računanja manipuliraju Φ i θ superpozicije za pomicanje točaka duž površine jedinice sfere.

Matematički govoreći, superpozicijom se manipulira linearnim operatorom U u obliku matrice.

Za jedan qubit, operator je jednostavno 2 × 2 matrica.

Schrodingerova jednadžba (izborno)

Priroda djeluje naivno jednostavno! Matematika je samo linearna algebra koju učimo u srednjoj školi. Između mjerenja, stanja manipuliraju linearnim operatorima pomoću matričnog množenja. Kad se mjeri, superpozicija propada. Ironično je da je linearnost veliko razočaranje za ljubitelje znanstvene fantastike. Ovo je opće svojstvo kvantne dinamike. Inače, putovanje vremenom ili putovanje brže od svjetlosti je sve moguće. Ako započnemo s tim linearnim operatorom (tačnije unitarnim operatorom), možemo dobiti Schrodingerovu jednadžbu, kamen temeljac kvantne mehanike u opisu kako se stanja razvijaju u kvantnoj mehanici. Iz suprotne perspektive, Schrodingerova jednadžba zaključuje linearnost prirode.

Izvor

Ovdje možemo napisati Schrodingerovu jednadžbu kao

gdje je H hermičar. To pokazuje kako se stanja linearno razvijaju u prirodi.

Jednadžba je linearna, tj. Ako su i ψ1 i ψ2 valjana rješenja za Schrodingerovu jednadžbu,

njegova linearna kombinacija je opće rješenje jednadžbe.

Ako su | 0⟩ i | 1⟩ moguća stanja sustava, njegova linearna kombinacija bit će njegovo opće stanje - to je princip superpozicije u kvantnom računanju.

jedinični

Naš fizički svijet ne dopušta sve moguće linearne operatere. Operator mora biti jedinstven i ispunjavati sljedeće zahtjeve.

gdje je U † transponirani, složeni konjugat U. Na primjer:

Matematički, unitarni operator čuva norme. Ovo je prekrasno svojstvo zadržati ukupnu vjerojatnost jednaku vrijednosti nakon transformacije stanja i zadržati superpoziciju na površini jedinične sfere.

Ako u nastavku pogledamo rješenje Schrodingerove jednadžbe, priroda se pokorava istom unitarnom pravilu. H je hermičar (transponirani složen konjugat hermetičara jednak je sebi). Pomnožavanje operatera s njegovim transponiranim složenim konjugatom jednak je matrici identiteta.

Slijedi primjer H gdje postoji jednoliko magnetsko polje E₀ u smjeru z.

Primjena unitarne operacije na | ψ⟩ rezultira rotacijom u z-osi.

Ali kakvo je stvarno značenje jedinstva u stvarnom svijetu? To znači da su operacije reverzibilne. Za svaki mogući zahvat, postoji još jedan koji može poništiti radnju. Baš kao što gledate film, možete ga reproducirati naprijed i priroda dopušta njegovom kolegi U † da reproducira video unatrag. Doista, možda nećete primijetiti igrate li videozapis naprijed ili natrag. Gotovo svi fizikalni zakoni su vremenski reverzibilni. Nekoliko izuzetaka uključuju mjerenje u kvantnoj dinamici i drugi zakon termodinamike. Prilikom dizajniranja kvantnog algoritma ovo je vrlo važno. Ekskluzivno operacija ILI (XOR) u klasičnom računalu nije reverzibilna. Informacije su izgubljene. S obzirom na izlaz 1, ne možemo razlikovati je li izvorni ulaz (0, 1) ili (1, 0).

U kvantnom računanju operatore nazivamo kvantnim kapijama. Kada dizajniramo kvantna vrata, pobrinut ćemo se da je to unitarno, tj. Postojat će još jedna kvantna vrata koja mogu preokrenuti stanje u prvobitno stanje. Ovo je važno od tada

ako je operator unitarni, on se može implementirati u kvantno računalo.

Jednom kada se dokaže da je unitar, inženjeri ne bi trebali imati problema da to primijene, bar teoretski. Na primjer, IBM Q računala, koja se sastoje od supravodljivih krugova, koriste mikrovalne impulse različite frekvencije i trajanja za kontrolu kubita duž površine Bloch-ove sfere.

Da bismo postigli unitarnost, ponekad izlažemo dio unosa da bismo ispunili ovaj zahtjev, poput onoga dolje, čak i ako izgleda suvišno.

Pogledajmo jedno od najčešćih kvantnih vrata, Hadamardova vrata koja je linearni operator definirana kao sljedeća matrica.

ili u notaciji Dirac

Kada primijenimo operatora u stanje zakretanja ili zakretanja, mijenjamo superpozicije u:

Ako se mjeri, obojica imaju jednake šanse da se zavrte ili zavrte na dolje. Ako ponovo primijenimo vrata, vratit će se u prvobitno stanje.

Izvor

tj. transponirani konjugat Hadadarda je sama Hadamardova vrata.

Kad primijenimo U U †, vraća se na izvorni unos.

Stoga su vrata Hadamarda jedinstvena.

Kvantno računanje temelji se na smetnji i zapetljanju. Iako možemo shvatiti kvantno računanje matematički bez razumijevanja tih pojava, pokazajmo to brzo.

interferencija

Valovi se međusobno miješaju konstruktivno ili destruktivno. Na primjer, izlaz se može povećati ili spljoštiti ovisno o relativnoj fazi ulaznih valova.

Koja je uloga interferencije u kvantnom računanju? Izvedimo neke eksperimente.

Interferometar Mach Zehnder (izvor)

U prvom eksperimentu pripremimo sve ulazne fotone da imaju polarizacijsko stanje | 0⟩. Taj tok polariziranih fotona ravnomjerno je podijeljen s položajem razdjelnika snopa B na 45 °, tj. Podijelit će snop na dva pravokutno polarizirana svjetla i izaći na zasebne putove. Zatim koristimo zrcala za reflektiranje fotona na dva odvojena detektora i mjerenje intenziteta. Iz perspektive klasične mehanike, fotoni su se podijelili na dva odvojena puta i ravnomjerno udarali na detektore.

U drugom gornjem eksperimentu, stavili smo još jedan razdjelnik snopa pred detektore. Po intuiciji, razdjelnici snopa djeluju neovisno jedan o drugom i dijele svjetlosni tok na dvije polovice. Oba detektora trebaju otkriti polovicu svjetlosnih zraka. Vjerojatnost da foton dođe do detektora D₀ pomoću 1-puta crvene boje je:

Ukupna šansa fotona da dosegne D₀ je 1/2 s 1 ili 0 staze. Tako oba detektora otkrivaju polovinu fotona.

Ali to se ne podudara s eksperimentalnim rezultatom! Samo D₀ otkriva svjetlost. Modeliramo prijelaz stanja za razdjelnik snopa s Hadamardovim vratima. Dakle, za prvi eksperiment je stanje fotona nakon razdjelnika

Kad se izmjeri, polovica će biti | 0⟩, a polovica će biti | 1⟩. Svjetlosni zraci ravnomjerno su podijeljeni na dvije različite staze. Tako će se naša vrata Hadamarda uskladiti s klasičnim izračunom. No, da vidimo što se dogodilo u drugom eksperimentu. Kao što je prethodno prikazano, ako pripremimo sve ulazne fotone da budu | 0⟩ i prosljeđujemo ih u dva Hadamardova vrata, svi će fotoni ponovno biti | 0⟩. Kada se mjeri, samo će D₀ otkriti zraku svjetlosti. Nitko neće dostići D₁ sve dok ne obavimo nikakvo mjerenje prije oba detektora. Eksperimenti potvrđuju da je kvantno računanje ispravno, a ne klasično. Pogledajmo kako smetnja igra ulogu u drugom Hadamardovom kapiji.

Kao što je prikazano u nastavku, komponente iste računarske osnove konstruktivno ili destruktivno ometaju jedna drugu kako bi proizvele točan eksperimentalni rezultat.

Možemo pripremiti ulazni fotonski snop da bude | 1⟩ i ponoviti izračun ponovo. Stanje nakon prvog razdjelnika razlikuje se od izvornog fazom π. Dakle, ako sada izmjerimo, oba će pokusa izvršiti ista mjerenja.

Međutim, kada se ponovo primijene vrata Hadamarda, jedna će proizvesti | 0⟩, a jedna će proizvesti | 1⟩. Interferencija stvara složene mogućnosti.

Dopustite mi da napravim još jedan zabavan eksperiment koji ima vrlo značajne implikacije na cyber-sigurnost.

Ako stavimo drugi detektor Dx nakon prvog razdjelnika, eksperiment pokazuje da će oba detektora sada detektirati polovicu fotona. Odgovara li to proračunu kvantne mehanike? U donjoj jednadžbi kada dodamo mjerenje nakon prvog razdjelnika, prisilimo kolaps u superpoziciji. Konačni rezultat bit će različit od rezultata bez dodatnog detektora i podudarat se s eksperimentalnim rezultatom.

Priroda nam govori da ako znate kojim putem ide foton, oba će detektora otkriti polovinu fotona. U stvari, to možemo postići samo sa jednim detektorom na samo jednoj stazi. Ako nije obavljeno mjerenje prije oba detektora, svi fotoni završavaju u detektoru D₀ ako je foton spreman da bude | 0⟩. Opet, intuicija nas dovodi do pogrešnog zaključka, dok kvantne jednadžbe ostaju pouzdane.

Ovaj fenomen ima jednu kritičnu implikaciju. Dodatno mjerenje uništava izvorne smetnje u našem primjeru. Stanje sustava mijenja se nakon mjerenja. Ovo je jedna od ključnih motivacija kvantne kriptografije. Možete dizajnirati algoritam takav da ako haker presreće (mjeri) poruku između vas i pošiljatelja, možete otkriti takav upad bez obzira na to koliko nježno mjerenje može biti. Jer će obrazac mjerenja biti različit ako se presreće. Teorem o kloniranju u kvantnoj mehanici tvrdi da kvantno stanje ne može točno kopirati. Dakle, haker također ne može kopirati i ponovo poslati originalnu poruku.

Iza kvantne simulacije

Ako ste fizičar, možete iskoristiti interferencijsko ponašanje u kvantnim vratima da biste simulirali istu smetnju u atomskim svjetovima. Klasične metode rade s teorijom vjerojatnosti s vrijednostima većim ili jednakim nuli. Pretpostavlja neovisnost koja u eksperimentima nije istinita.

Kvantni mehanizam tvrdi da je ovaj model pogrešan i uvodi model sa složenim i negativnim brojevima. Umjesto da koristi teoriju vjerojatnosti, ona koristi smetnje za modeliranje problema.

Dakle, kakvu korist donosi nefizičaru? Smetnja se može tretirati kao isti mehanizam kao i unitarni operator. Može se lako implementirati u kvantno računalo. Matematički, unitarni operator je matrica. Kako se povećava broj kubita, dobivamo eksponencijalni rast koeficijenata s kojima se možemo igrati. Ovaj unitarni operator (uplitanje u oči fizičara) omogućuje nam da manipuliramo svim ovim koeficijentima u jednoj jedinoj operaciji koja otvara vrata za masovne manipulacije podacima.

uplitanje

Općenito, znanstvenici vjeruju da bez zapletenosti, kvantni algoritmi ne mogu pokazati nadmoć nad klasičnim algoritmima. Nažalost, ne razumijemo razloge dobro i zato ne znamo kako algoritam prilagoditi da iskoristi svoj puni potencijal. Zbog toga se zaplete često spominje prilikom uvođenja kvantnog računanja, ali ne mnogo kasnije. Iz tog ćemo razloga objasniti što je zametanje u ovom odjeljku. Nadajte se da ste vi znanstvenik da biste razbili tajnu.

Razmotrimo superpoziciju 2-kbita.

gdje | 10> znači da su dvije čestice u zavrtnju prema dolje i prema gore.

Razmotrimo sljedeće složeno stanje:

Možemo li složiti stanje natrag u dva pojedinačna stanja poput,

Ne možemo jer to zahtijeva:

Kvantna mehanika pokazuje jedan neintuitivni koncept. U klasičnoj mehanici vjerujemo da se razumijevanje cijelog sustava može postići razumijevanjem svake podkomponente. Ali u kvantnoj mehanici,

Kao što je prethodno prikazano, možemo kompozitivno stanje modelirati i savršeno predvidjeti predviđanja.

Ali to ne možemo opisati ili shvatiti kao dvije neovisne komponente.

Zamišljam ovaj scenarij kako se par vjenčao 50 godina. Uvijek će se složiti što učiniti, ali ne možete naći odgovore kada ih tretiraju kao zasebne osobe. Ovo je pretjerano pojednostavljen scenarij. Postoji mnogo mogućih stanja isprepletanja

i bit će ih mnogo teže opisati kada se povećava broj qubita. Prilikom izvođenja kvantnih operacija znamo kako su komponente povezane (zapletene). Ali prije bilo kakvog mjerenja, točne vrijednosti ostaju otvorene. Zapletenost proizvodi korelacije koje su daleko bogatije i vjerojatno puno teže da se klasični algoritam učinkovito oponaša.

Sljedeći

Sada znamo kako manipulirati qubitima s unitarnim operacijama. Ali za one koji su zainteresirani za kvantne algoritme, trebali bismo prvo znati što je ograničenje. Inače ćete možda zanemariti koje su stvari teške u kvantnom računanju. Ali za one koji prvo žele znati više o kvantnim vratima, drugi članak mogu pročitati prije prvog.