Kvantno računanje s najjednostavnijom mogućom matematikom

Sigurna sam da ste prije vidjeli riječ 'kvant'. Vjerojatno u popularno-znanstvenom članku koji ga je nazvao čudnim i ludim, a nije vam rekao mnogo drugo. Ili ste možda čuli u Sci-Fi-u, gdje znanstvenici tretiraju jednadžbe kao nakaze koje je samo potrebno staviti u računalo da bi se dogodila magija.

Ponekad sam kriv za upravo to isto. Ali takvi opisi imaju ozbiljne nedostatke. Čine da se sve čini neopipljivim, izvan razumijevanja pukih smrtnika i da se s njima moraju suočiti samo veliki mudraci. To uopće nije istina. Radim na kvantnim stvarima i pomalo sam idiot. Sada je vrijeme da vam kažem istinu o kvantitetu!

Da bismo to učinili, trebat će nam matematika. Ali ne bojte se! Matematika nije uvijek zastrašujuća. Zagonetke su matematika i zabavne su.

Ne kažem da će matematika u ovom postu biti zabavna, ali držat ću je što jednostavniju i bezbolniju. Koristit ću samo matematiku koju ljudi nauče u školi, a imati ću na umu da ste vjerojatno sve to zaboravili (i vjerojatno je niste razumjeli u prvom redu).

Osnovna matematika kvantne mehanike nije sve tako teško. U stvari, to može biti puno lakše od onoga s čime se ponekad moramo suočiti u nekvantnom svijetu.

Da to bude što jednostavnije, razmišljat ćemo o najjednostavnijim vrstama kvantnih objekata. To će moći napraviti samo dvije moguće stvari. Poput novčića, to mogu biti ili glave ili repovi. Ili malo koji može biti 0 ili 1. Ali oni će istovremeno moći biti oboje na čudan i magičan kvantni način.

Uh! Ponovno sam otišao sav pahuljast. Trebao sam reći da to mogu biti dvije stvari odjednom na potpuno razumljiv i matematički precizan način. Provjerimo.

Stanja i mjerenja

Prvo moramo dati našim malim jednostavnim kvantnim objektima ime. Nazivamo ih kvantnim bitovima ili kbitima.

Dalje, moramo razgovarati o državama. Koristimo riječ 'država' da opišemo što malo, ili qubit ili što god radi. Bitovi su prilično jednostavni jer imaju samo dva moguća stanja: 0 i 1. U bilo koje je vrijeme ili u stanju 0 ili u stanju 1. Ne može biti oboje i ne može biti ni jedno ni drugo. Kubit se također izgrađuje oko ova dva osnovna stanja. Ali također može biti jedno od beskonačnog broja stanja superpozicije, gdje je istovremeno i jedan stupanj od 0 i neki stupanj od 1.

Kad malo izmjerite, postavljate pitanje je li u stanju 0 ili stanju 1. Isto tako možete postaviti isto pitanje o kubitima. Ako njegovo stanje nije 0 ili 1, već je umjesto njih superpozicija, kbit će nasumično odabrati koji će biti. Ako je superpozicija više pristrana prema 0, najvjerojatnije ćete dobiti 0 i obrnuto. Bilo bi lijepo dobiti više informacija iz kvota. Bilo bi lijepo točno otkriti u kojem se beskonačnom broju stanja superpozicije nalazi. Nažalost, ne postoji način da se to učini. Ograničeni smo na jednostavno postavljanje pitanja je li to u jednom stanju (poput 0) ili potpuno drugom stanju (poput 1), i da se stavimo sa slučajnošću u rezultat kada to nije ni jedno.

Iako se dva osnovna stanja za qubit nazivaju 0 i 1, ovo su samo oznake koje smo odabrali. Podjednako bi ih se moglo nazvati "Da" i "Ne", ili "Siva" i "Ananas", ili "£" i "%". Oni zapravo nisu stvarni brojevi '0' i '1' koje možemo dodavati i množiti. Tako može biti zbunjujuće kada ih počnemo stavljati u jednadžbe. Da bismo izbjegli ovu zbrku, obično ih zapisujemo na pomalo čudan način. Za qubit u stanju 0 pišemo | 0>. Za jedno u stanju 1 pišemo | 1>. Ovdje je | i> zapravo neće raditi ništa u bilo kojoj jednadžbi. Oni su samo da nas podsjećaju da su 0 i 1 nazivi za kvantna stanja, a ne za stvarne brojeve.

Ova nota je uplašila mnoge studente fizike, pa izbjegavajmo ih ovdje. Umjesto toga, upotrijebimo različite oznake za qubit stanja. Za stanje qubita obično poznato kao 0, nazovimo ga umjesto toga. Za državu obično poznatu kao 1, nazovimo je. Izdvojimo i podebljano kako bismo ih označili kao posebne. Ovo će sve samo izbjeći čudnoću od | i>.

Izmišljajući matematiku

Pokušajmo sada opisati kvantna stanja matematikom. Jedna stvar koju trebate znati o matematici je da je savršeno u redu izraditi pravila dok nastavljate dalje. Ovo bi vas moglo iznenaditi jer ste ga vjerovatno naučili kao skup krutih pravila i metoda kojih se morate pridržavati. Ali to su samo skupovi pravila za koja se ispostavilo da su korisna za nešto. Za kvantnu mehaniku trebat će nam neke nove matematike *, pa počnimo s izmišljanjem.

Prvo, bilo bi korisno na neki način kvantificirati koliko su slične dvije države. Nazvat ćemo ovo preklapanjem. Stanja gore i dolje potpuno su različita, pa bi se one trebale preklapati s 0 (ovo je stvarni broj nula ovog puta). Za stanja koja su 100% ista recimo da je preklapanje 1.

Sada imamo novu matematičku stvar za izračunavanje. Moramo samo izraditi matematička pravila koja možemo upotrijebiti za njegovo izračunavanje.

Za dvije države gore i dolje postoje samo četiri moguća preklapanja koja se mogu izračunati i znamo kakva bi trebala biti.

preklapanje gore i gore = 1

preklapanje gore i dolje = 0

preklapanje dolje i gore = 0

preklapanje dolje i dolje = 1

Sada moramo razraditi preklapanja za stanja superpozicije. Postoji mnogo različitih mogućih supozicija gore i dolje, koje se razlikuju po tome koliko su pristrani jedni prema drugima. To znači da su nam potrebna dva broja, nazovimo ih uzvišenošću i spuštenošću, koja opisuju koliko je superpozicija gore i dolje

Bilo bi lijepo i skraćeno ime stanja superpozicije koje pokušavamo opisati. Nazovimo to samo S. Sada moramo zapisati činjenicu da je S superpozicija gore i dolje, kao i koja je njegova uspravnost i dolje, na način koji izgleda matematički. Što kažeš na

S = (nagore S) × gore + (dolje od S) × dolje

Ovo lijepo stavlja sve potrebne podatke u jedan redak. Čak ima i oznake + i neke × da bi izgledalo kao matematika. Izgledaju sumnjivo poput zbrajanja i množenja. Ali što uopće znači pomnožiti državu s brojem? Ili dodati dvije države? To nisu zbrajanje i množenje na koje smo navikli. Pokazati će se da će oni slijediti slična pravila kao i normalna. Dakle, zato koristimo ove simbole.

E sad, što se preklapa između našeg stanja superpozicije S i stanja gore? Još uvijek nismo izradili dovoljno pravila da bismo to izračunali, pa moramo nešto odabrati. Upravo smo uveli pojam izglađenosti, koliko ima gore u S. To se čini priblizno istoj stvari kao i preklapanje između S i gore, a ne bi bilo u suprotnosti s bilo kojim od pravila koja već imamo bili su ista stvar. Dakle, napravimo samo pravilo koje kaže da su iste stvari.

preklapanje S i gore = upness S

Postoji složeniji način na koji ovo možemo napisati, što nam može pomoći da razumijemo malo više o tome što se događa.

preklapanje S i gore = (nagore S) × (preklapanje gore i gore)

+ (silaznost S) × (preklapanje dolje i gore)

Ovdje je preklapanje S i gore zbroj dviju stvari. Prvi je doprinos iz gornjeg dijela S

(visina od S) × (preklapanje gore i gore) = (porast od S) × 1 = up S

To nam govori da gornji dio S doprinosi uzvišenosti (očito), a to u potpunosti doprinosi zato što je preklapanje između gornjeg dijela S i gore 1.

Drugi doprinos je s donjeg dijela S

(silaznost S) × (preklapanje dolje i gore) = (silaznost S) × 0 = 0

To nam govori da bi donji dio S-a doprinio spuštanju da je išta doprinio. Ali zapravo ne doprinosi zato što je preklapanje između donjeg dijela S i prema gore 0.

Dobijamo sličnu jednadžbu za preklapanje S i dolje.

preklapanje S i dolje = (nagore S) × (preklapanje gore i dolje)

+ (dolje S) × (preklapanje dolje i dolje)

Ovaj put, preklapanja od gore i dolje osiguravaju da pad doprinosi u potpunosti, a visina uopće ne doprinosi.

Što je sa preklapanjem s nečim drugim? Ako pogledamo preklapanje između S i dolje i preklapanja za S i gore, jedina je razlika što jedan ima prema gore, a drugi ima prema dolje. Pa možda to možemo jednostavno zamijeniti bilo čime drugim. Izmislimo novo stanje i nazovimo ga T, bez drugog razloga, ali ono dolazi poslije slova S po abecedi. Preklapanje S i T je tada

preklapanje S i T = (uvećanje S) × (preklapanje gore i T)

+ (silaz S) × (preklapanje dolje i T)

U tim jednadžbama imamo × i +, množenje i dodavanje normalnih brojeva. To su doista množenje i zbrajanje na koje smo navikli. Iz ovih jednadžbi možda možete vidjeti zašto sam ranije koristio × i +. Usporedite jednadžbu za S s jednadžbom njezinog preklapanja s T

S = (nagore S) × gore + (dolje od S) × dolje

preklapanje S i T = (uvećanje S) × (preklapanje gore i T)

+ (silaz S) × (preklapanje dolje i T)

Prilično su iste. Jedina je razlika što je svako stanje u prvom zamijenjeno preklapanjem tog stanja, a T u drugom. To znači da drugi ima samo normalne brojeve. Dakle, čudno množenje i sabiranje u prvom postaje normalno u drugom. Dakle, bez obzira na to što su x i +, oni moraju biti neka inačica množenja i zbrajanja koja djeluju sa stanjima qubita i tek tada postaju normalno množenje i zbrajanje kad tek započnemo računati brojevima. Ipak, nećemo morati razmišljati puno više o tome.

Razmislimo više o preklapanju između S i našeg novog stanja T. Prvo, baš poput S trebali bismo biti u stanju napisati T kao

T = (up T) × gore + (dolje od T) × dolje

Ranije smo donijeli pravilo da je uzvišenost države ista stvar kao i njezino preklapanje sa gore. Ovo nam pravilo omogućuje da na jednostavniji način napišemo jednadžbu preklapanja S i T.

preklapanje S i T = (nagore S) × (nagore T) + (dolje od S) × (dolje od T)

To nam omogućuje da preradimo preklapanje S i T koristeći njihovu visinu i visinu, a to su samo brojevi koje znamo.

Sada postavimo pitanje na koje već znamo odgovor. Koje je preklapanje između S i samog sebe? Korištenje matematike gore

preklapanje S i S = (nagore S) × (nagore S) + (dolje od S) × (dolje od S)

= (uspravnost S) ² + (silaznost S) ²

Budući da gledamo preklapanje između dvaju stanja koja su potpuno ista, odgovor bi trebao biti 1. Dakle, sada znamo nešto o odnosu između izravnanosti i spuštenosti za bilo koje kvantne superpozicije

upness² + downness² = 1

Ovo ima puno smisla. Što je država pristrana prema gore, ona mora biti pristrana prema dolje. Na primjer, stanje s nagore 1 (pa tako i s upadom 1 od 1) je u potpunosti gore, i tako nema padna. Prva konkretna činjenica o kojoj nam je pričala kvantna matematika uopće nije čudna. Vidite, kvantna mehanika nije tako čudna.

Pa, možda je to pomalo čudno. Imajte na umu da ovdje ne dodajemo samo uspravnost i skromnost. Umjesto toga prvo ih kvadratujemo. Ono što znamo iz škole je da se negativni brojevi jednake vrijednosti kao i pozitivni. (-1) ² = 1 baš poput 1² = 1, na primjer. Pa možda nam ova jednadžba govori da je u redu da su uspravnost i spuštenost negativni, iako bi to bilo pomalo čudno, jer ovi brojevi trebaju biti razumljivi tek nakon što smo ih uvrstili.

Na ovim negativnim brojevima postoji mogućnost na čemu se temelji svaka kvantna strahopoštovanja. No, ostavimo malo te zabave za neki drugi dan.