Ljepotice skrivene u Pi (π)

Napokon je bio vikend! Nakon duge prezentacije iz matematike, vratio sam se kući da gledam svoju omiljenu tv emisiju, Osoba od interesa, kako bih se od stresnog stresao. Iznenađujuće, epizoda je bila o najpoznatijoj matematičkoj konstanti pi (π) koja je jednaka omjeru opsega kruga prema njegovom promjeru, obično približnom 3,14159. Gospodin Finch (glavni lik) djelovao je kao zamjenski učitelj i pisao je na ploči 3.1415926535. Zatim je pitao studente: "Što to znači?". Odgovorio sam na to pitanje misleći: "Ako imam biciklističku gumu promjera 1, tada bi jedna puna obrtaja gume za bicikl prešla daljinu pi." Međutim, u filmu nitko nije odgovorio. Tada je gospodin Finch sam odgovorio na pitanje rekavši

Zanimljiva osoba, sezona 2, epizoda 11 „2 Pi R“
Pi, omjer opsega kruga i njegovog promjera - 3,1415926535 - tek je početak. To traje zauvijek, bez ponavljanja, što znači da je u ovom nizu decimalnih znakova svaki drugi broj; datum rođenja, kombinacija vašeg ormara, vaš broj socijalnog osiguranja itd. Sve je tamo negdje. A ako te decimale pretvorite u slova, imali biste svaku riječ koja je ikada postojala u svakoj mogućoj kombinaciji; prvi je slog o kojem ste govorili kao beba, ime vašeg najnovijeg sloma, cijela vaša životna priča od početka do kraja i sve što ikad kažemo ili učinimo. Sve neograničene mogućnosti svijeta počivaju u tom jednom jednostavnom krugu. Što ćete sada učiniti s tim informacijama; za što je dobro? Pa, to bi ovisio o tebi ...

Iako je ta scena zapravo bila netočna, svidjela mi se. Ovaj je prizor lijep jer se većina učitelja u svijetu bori da bude jednako dobar i zanimljiv učitelj kao što je gospodin Finch ovdje. Njegovo znanje o temi proširuje raspravu izvan udžbenika i drži studente usredotočenima tijekom predavanja.

Mandelbrot Veličanstveni | Povijest Pi | Kako peći PiPi je omjer opsega kruga i njegovog promjera. Promjer se uklapa oko granice točno π puta. Pi se odmotao.

Nažalost, to je pogrešno jer matematičari još nisu dokazali da pi ima obilježje "normalnosti". Drugim riječima, matematičari nisu sigurni sadrži li pi sve krajnje duge permutacije znamenki od 0 do 9. Nisu sigurni da će se svaka znamenka nastaviti upotrebljavati nakon određenog vremena ili neograničenog broja puta u decimalnom broju pi reprezentacija.

Brojkama π nikad nije kraj.

Nitko ne zna što ćemo naći u znamenkama Pi ako nastavimo dalje. Na primjer, kada provjerimo prvu milijardu znamenki pi, vidimo da se brojka 7 pojavljuje gotovo 100 milijuna puta. To čini pi lijep generator slučajnih brojeva. Međutim, nakon nekih točaka pi možda ne sadrži cifru 7, a umjesto toga može imati neponovljiv broj sa samo dvije ili tri znamenke, poput 010203112233000111222333…

Na primjer, nakon prvih 761 znamenki pi, dogodi se poznata matematička slučajnost u kojoj se događa šest šest devetica u nizu, što se naziva Feynmanova točka („Feynmanova točka“, Wikipedia).

Twitter, Feynmanova knjižnica,

Ali sigurni smo da cifre pi nastavljaju zauvijek i nasumičnim redoslijedom. Zbog toga je pi zanimljiv jer je vrijednost pi konačna, međutim njena decimalna vrijednost je beskonačno duga. Ovo nije kontradikcija. Pi je konstantan broj jer su konačne vrijednosti omjer opsega kruga i njegovog promjera. Ipak, za pi nam treba približna vrijednost.

Godine 1768. Johann Lambert je dokazao da je vrijednost pi iracionalni broj i da se ne može napisati kao racionalan jednostavan ulomak. 22/7 je uobičajena aproksimacija, ali ne sadrži sve znamenke pi. To je zato što se iracionalni brojevi ne mogu zapisati kao omjer dva broja, kao što je ab, jer se brojevi nastavljaju u beskonačnost i ne slijede obrazac. Godine 1882. Ferdinand Lindemann dokazao je da je pi transcendentalni broj jer nije algebričan; to nije konstantna polinomska jednadžba s racionalnim koeficijentima ("Transcendentalni broj", Wikipedia).

Sa sigurnošću možemo reći da je pi transcendentalan jer je matematičar Yasumasa Kanada utvrdio da je prvi trilijun cifara pi statistički slučajno. Ako provjerite tablicu u nastavku, vidjet ćete da je događaj svake znamenke koja se događa neovisan i da je vjerojatnost da će to biti jedna desetina vremena ("Kanada Laboratory", Super Computing)

Pojave s brojevima
    0 99,999,485,134
    1 99,999,945,664
    2 100,000,480,057
    3 99,999,787,805
    4 100.000.357.857
    5 99,999,671,008
    6 99,999,807.503
    7 99,999,818,723
    8 100,000,791,469
    9 99,999,854,780
    Ukupno 1.000.000.000.000

Nakon mnogih godina, Emma Haruko Iwao je 2019. pronašla 34,1 trilijun cifara pi-a. Prošlo je 121 dan za Haruka i njegovo računalo jer izračunavanje pi-a zahtijeva mnogo snage, čak i za računalo. Možete to zamisliti u svom umu ovako; ako biste ispisali milijardu decimalnih vrijednosti Pi normalnim, običnim fontom, to bi se protezalo od New Yorka do Kansasa.

Međutim, 34,1 trilijuna znamenki još uvijek nije dovoljno da bi se dokazalo je li pi normalan ili ne („Pi in the Sky“, Google Cloud Blog). Superračunala i dalje ruše brojke. Ako provjerite grafikon u nastavku, vidjet ćete broj poznatih znamenki pi po godini, od 250 B.C.

FiveThirtyEight, Graph,

Vraćajući se gospodinu Finchu, vidimo da on nije 100% kriv. Lako možemo pronaći naše rođendane u pi. Ako odete na mypiday.com i upišete rođendan, dat će vam decimalno mjesto u pi. Na primjer, moj se rođendan događa na 675,097. decimalnom mjestu.

Ako je pi normalan broj, tada možemo reći da je cijela naša sudbina kodirana u pi. Slike koje ćemo u budućnosti napraviti i bit će u pi jer iza slika stoje binarni brojevi. Svi digitalni proizvodi su u pi. Čak je i ovaj članak u pi tisućama godina. Nadalje, DNK svakog stvorenja nalazi se u pi. Gospodin Finch je u stvari bio u pravu.

Postoji zanimljiv i umjetnički način prikazivanja slučajnosti pi. Neki znanstvenici možda su zadovoljni svojim zamornim planovima raspršenja, ali postoje neki umjetnici koji koriste boje za vizualizaciju podataka kako bi komunicirali s javnošću. Martin Krzywinski jedan je od takvih umjetnika, koji je ljepotu i umjetnost pronašao u slučajnosti Pi. Uzeo je cifre pi i svakoj znamenki dao drugačiju boju. Na primjer, dao je 3 u narančastoj boji, 1 kao crvena, 4 kao žuta i tako dalje. Tada je napravio prekrasan plakat. A ako pažljivo pogledate, ne vidite neki poseban uzorak bojama.

Znanost umjetnosti Martin Krzywinski

Osim što postoji toliko fascinantnih činjenica o pi, to je ujedno i do sada najviše proučavani broj u povijesti matematike. Mnogi ljudi žele upamtiti znamenke u pi, a ne znamenke drugih iracionalnih brojeva (YouTube, PBS NewsHour). Potiče ljude u ludilo i kaos. Matematičari se stoljećima bore za točan izračun pi.

Dakle, trebamo li prestati raditi na pi-u ili trebamo nastaviti tražiti bolju aproksimaciju? Je li pretpostavka da je pi jednak 3,14 dovoljno dobra? Ili je dovoljno upotrijebiti 40 znamenki pi za pronalazak opsega galaksije Mliječni put do pogreške koja je manja od veličine protona (JPL NASA)? Da li su prve 152 znamenke dovoljne za pronalazak opsega promatranog svemira na 93 milijarde svjetlosnih godina (WIRED)? Postoje stotine matematičara koji godinama pokušavaju otkriti više znamenki pi. To je poput pokušaja prijeći na Mjesec, a zatim na sljedeći planet, i tako dalje ... Ali zašto? Zašto se matematičari muče s izračunavanjem više znamenki? Zašto 34,1 trilijuna cifara pi nije dovoljno? Da li zato što piju u svakom krugu?

Svaka rotacija je izraz π.

Logički razlog čini se zagonetnim; to je zato što je pi prekrasan izvor za generiranje slučajnih brojeva. Međutim, čini se da je pravi razlog tako da zemlje mogu pokazati svoju tehnologiju drugim zemljama, jer za izračunavanje trilijuna cifara pi ima potrebno vrlo moćno računalo. Primjerice, u epizodi Zvjezdanih staza "Vuk u preklopu" Spock folira zločesto računalo tako što mu naređuje da "izračuna posljednju znamenku vrijednosti Pi". Stoga se traženje računala da izračuna Pi naziva „stresnim testom“ i može prouzrokovati pad sustava.

S druge strane, mi ljudi smo nespretni tvorci. Boravak kod kuće i ispijanje čaja lijepa je aktivnost, ali kad nam dosade pokušavamo se popeti na najviše planine, naići na tigra ili pokušavam zapamtiti znamenke pi-a poput Chao Lu-a, koji je pravilno upamtio prvih 67.890 znamenki pi-a , Nastavit ćemo raditi ove stvari jer volimo razumjeti svijet oko nas.

12. F. 1962. John F. Kennedy održao je govor o svemirskom programu. On je rekao:

"Još nema sukoba, predrasuda, nema nacionalnog sukoba u svemiru. Njegove su opasnosti neprijateljske za sve nas. Njegovo osvajanje zaslužuje najbolje od cijelog čovječanstva, a njegova prilika za mirnu suradnju mnogi se više nikada ne ponove. Ali zašto, neki kažu, mjesec? Zašto izabrati ovo kao naš cilj? I mogu se pitati zašto se penjati na najvišu planinu? Odlučimo ići na Mjesec. Mi ćemo u ovom desetljeću izaći na Mjesec i raditi druge stvari, ne zato što su lagane, već zato što su teške, jer će taj cilj poslužiti za organiziranje i mjerenje najboljeg našeg broja energije i vještina, jer je taj izazov jedan koje smo spremni prihvatiti, jedni koje nećemo odgoditi, i one koje namjeravamo pobijediti, i druge, također.

Mi smo neizbježno povezani s prošlošću, a pi je nit koja je prošla kroz cijelu ljudsku povijest. Zato možemo reći da dok god postoje ljudi, uvijek će biti neko ko se pita šta je sljedeće. Uvjeravam vas da negdje u svijetu postoji matematičar ili znanstvenik koji koristi pi za nešto važno za naš svemir jer je pi još uvijek tajanstvena konstanta prirode.

Pronalaženje Pi

Prethodna je izjava potpuno istinita, jer je Pi uvijek postojao neko. Matematika je stara koliko i civilizacija. Pi je proučavao ljudski rod gotovo 4000 godina. Kad su izumrli posljednji mamuti, ljudi su proučavali Pi. Koliko znamo, Arhimed iz stare Grčke bio je jedan od prvih ljudi koji su izračunali pi. Najvjerojatnije je pomagao proizvođačima kotača. Ali kako je procijenio vrijednost pi?

Prvo je vidio da su svi poligoni kao krug. Prema Arhimedu, ako nastavite povećavati broj stranica poligona, približili biste se savršenom krugu. Drugim riječima, pentagon je više krug od kvadrata, ali šesterokut je više krug od pentagona, i tako dalje ... Dakle, legendarni matematičar Archimedes definirao je krug kao pravilan mnogokut s izuzetno velikim brojem strana više od dvije prije tisuću godina.

Poligoni upisani u jedinični krug [Forbes]

Njegova je definicija korisna, jer je teško izmjeriti zakrivljenu površinu. Pronašao je način da pronađe opseg kruga. Prvo je nacrtao kvadrat čija su uglovi dodirivali obod kruga i pronašao obod upisanog kvadrata. Kao drugo, nacrtao je još jedan kvadrat sa stranicama dodirivši i perimetar kruga i pronašao je obod opisanog kvadrata. Došao je do zaključka da njegov opseg kruga mora ležati negdje između vrijednosti ta dva perimetra kvadrata.

Pomoću ove metode, međutim, razlika između te dvije vrijednosti bila je prilično velika kad je koristio kvadrate. Dakle, nacrtao je pentagone kako bi vidio gornju i donju granicu opsega kruga. Tada je dobio manji raspon granica. Nakon toga, nastavio je povećavati broj lica poligona koje je crtao unutar i izvan kruga. Svaki put kad je to učinio, njegova je procjena bila sve točnija. Archimedes se popeo na 96 jednostrani redoviti poligon (zvan enneacontahexagon) dok se nije iscrpio. Donja i gornja granica koju je tada pronašao su 3.1408 i 3.1429. Tako je izračunao π na dvije decimalne točke.

Arhimedovoj metodi bilo je potrebno poboljšati, jer životni vijek hsija neće biti toliko dug da bi ručno pronašao ostale znamenke pi-a. Matematičari su trebali otkriti učinkovitije formule i nove tehnike.

Prije nego što su to uspjeli, trebali su otkriti Algebru. U početku su ljudi koristili znakove za znamenke. Na primjer, recimo da vi i vaš susjed imate 75 konja, a vi imate 35 konja. Morate pronaći broj konja koje ima vaš susjed. Bez algebre rješenje će trajati dugo. Ali nakon otkrića algebre, koristimo jednadžbe za rješavanje problema. U ovom konkretnom primjeru možemo napisati 75 = x + 35 gdje su x konji vašeg susjeda. Pisanje takve jednadžbe i korištenje varijable umjesto broja bilo je revolucionarno za klasični svijet. Algebra je omogućila mnogo lakše izračune u čitavoj matematici.

Usvajanje algebre od strane velikih matematičara nadahnulo je sasvim nov način gledanja na svijet. Sljedeći veliki skok u izračunavanju pi bio je izum računanja. Nakon toga, matematičari su počeli raditi na beskonačnim serijama. Beskonačni niz je izraz s brojevima koji se sabiraju jedan za drugim do beskonačnosti, a ponekad se ti beskonačni nizi konvergiraju određenoj vrijednosti.

Sada je na raspolaganju mnogo metoda za izračunavanje Pi. Gottfried Leibniz pronašao je pi u beskonačnosti. James Gregory pronašao je jednadžbu ispod za pi. On je radio na jednoj od zapanjujućih beskonačnih serija za funkciju obrnute tangenta u nastavku. Sabrao je beskonačno mnogo malih brojeva i pronašao pi.

Stavio je x = 1 u inverzno-tangentni niz. Pokazao nam je što dalje idemo, što smo bliže procjeni pi. Međutim, da bismo dobili 10 znamenki pi, trebamo napisati oko 5 milijardi frakcija.

Nakon toga, drugi veliki matematičar, Leonhard Euler - koji je službeno usvojio grčko slovo „π“ kao simbol za predstavljanje vrijednosti, pronašao je učinkovitiju jednadžbu za Pi kada mu je bilo 28 godina. Simbol je postao ikoničan. Eulerova Pi jednadžba izračunava beskonačni zbroj. Bazelski problem je dobio ime po njemu.

Euler je također upotrijebio Pi da bi napisao još jednu lijepu jednadžbu, Eulerov identitet. Imam cijeli članak posvećen njemu, koji možete pročitati ovdje.

Zahvaljujući opsesiji indijskog matematičara Ramanujana za pi, imamo mnogo novih formula za pronalaženje pi-a. Kad je stigao u Cambridge iz Indije, sa sobom je ponio bilježnicu u kojoj je bilo 400 stranica formula za pronalazak pi-a.

Nakon izuma mehaničkih računala, matematičari su pomoću Leibnizovih, Eulerovih i Ramanujanovih beskonačnih serija izračunali bilijun decimalnih znamenki pi (Stanford Cryptography Group). Bez superračunala, teško bi bilo pronaći cifre pi-a. Primjerice, matematičar William Shanks uspio je ručno izračunati prvih 707 znamenki pi-a, ali nažalost, pogriješio je nakon 527. mjesta.

Pi je posvuda

Spirografi su matematički obrasci u kojima različite rotacijske varijable stvaraju različite rezultate.

Djeca počinju učiti o pi već u 7. razredu i koriste ga sve dok ne završe fakultet. Čak i nakon toga, većina ljudi ponovno koristi pi kad njihova djeca idu u školu. Pi se pojavljuje svuda u svemiru i svaki put u našem životu. Doslovno je utkana u naš svemir; orbite planeta, elektromagnetski valovi, rijeke, boje aure, struktura DNK, Velika piramida u Gizi ...

π je dio trigonometrijskih funkcija sinusa i kosinusa.

Ako znanstvenik želi opisati strukturu svemira ili pronađe odnos između planeta, on definitivno treba upotrijebiti Pi. Budući da bilo šta što uključuje krug ili sferu govori o Pi. Krugovi se pojavljuju u cijelom prirodnom svijetu, bilo da je riječ o mjehurićima sapunicama ili mjesecu na noćnom nebu. To objašnjava zašto je matematika važna u svim područjima znanosti. Pi nam pomaže vidjeti matematičke ideje u temelju različitih fizičkih procesa.

Gif koji prikazuje pametnu igru ​​na slovima

Sinuozitet rijeka

Pi ima izravan odnos s rijekama na Zemlji. Ali kako? Da bismo to shvatili, dužinu rijeke moramo izmjeriti na dva različita načina. Pretpostavimo da znamo početnu i krajnju točku rijeke. Prvo, potrebna nam je stvarna duljina da bismo vidjeli koliko je rijeka zavojita. Drugim riječima, udaljenost koju trebate preplivati ​​od početne do krajnje točke. Cijela ova dužina bit će „L“. Drugo, trebamo pronaći ravnu duljinu. Drugim riječima, ovaj put moramo letjeti od početka do kraja. A ova izravna ruta bit će mala slova „l“. Sada možemo napisati formulu za sinusoznost dijeljenjem L na l. Sinusnost je omjer i mjeri koliko je rijeka zavojita.

Ono što je ovdje važno je da nema ograničenja u pogledu velike sinuoznosti. Rijeka može biti stvarno zavojita. Međutim, Hans-Henrik Stølum dokazao je da je prosječna sinusnost rijeka širom svijeta pi. Ako utvrdite sinusnost svih rijeka i uzmete prosječnu sinusnost njih, trebali biste dobiti Pi (Meandering River).

Postoji još jedna zanimljiva činjenica o sinusosti. Rijeke mogu u nekim trenucima biti vrlo zavojite. Očekivali bismo visoku sinuoznost. Ali odjednom, te rijeke postaju ravne i čine sinuosity jednakom Pi. Dakle, teško je pronaći sinuozitet rijeke jednak 7 zbog dinamike fluida. Matematičari su ustanovili da je najveći sinuozitet oko 3,5, a najmanji sinuozitet oko 2,7.

Rijeke mogu početi djelovati vrlo kaotično nakon nekog vremena. Tada se iznenada vrate u normalu. Na krajnjoj zavojnoj točki rijeke se presijeku nakon točke zavoja i naprave prečicu da bi ponovo postale ravno. Taj je fenomen poznat kao jezero od voska, koje kontrolira sinuozitet rijeka. To zadržava sinusnost rijeke oko Pija.

Pi u svemiru

Postoji matematički poredak svojstven našem svemiru. Na primjer, da bismo razumjeli svoj sunčev sustav, potreban nam je Pi. Znamo da se naš planet kreće ispred svoje zvijezde domaćina. A svjetlost dolazi od zvijezda domaćina. Da bismo razgovarali o tom svjetlu, moramo znati koliko je velika zvijezda domaćina. Drugim riječima, potrebna nam je površina zvijezde domaćina. Formula površine površine sfere je 4πr², a r je polumjer zvijezde. Veličina planeta također pomaže znanstvenicima da pogoduju je li useljiv ili ne.

Za svakih 8 Zemljinih orbita, Venera kruži oko Sunca 13 puta.

Drugi dobar primjer da se pokaže odnos između pi i svemira je elektrostatička sila, a to je sila između dva električna naboja. Elektroni djeluju na silu u svim smjerovima i tvore polje sfere. Elektroni također djeluju jedni s drugima na električnom polju. Da bismo shvatili tu interakciju, moramo pronaći površinu sfera, gdje se opet = pi pojavljuje.

Postoji i veza između pi i gravitacije. Ako ste imali priliku vidjeti Einsteinove jednadžbe polja, mogli biste primijetiti da je i Pi tu.

Gornja formula izračunava kako predmeti velike mase, poput zvijezda i galaksija, mogu svojom krivuljom zakriviti prostor i vrijeme. Einstein kaže da, baš poput kugle koja sjedi na krevetu, bilo koji oblik zamaha i energije također može zakriviti prostor-vrijeme oko nje. Riječima, formula glasi:

Gravitacija = 8 x π x Energija i zamah

Dakle, Pi je dio gravitacije, energije i zamaha svemira i svih objekata sadržanih u njemu. Nijedan drugi iracionalni broj. Ako uzmete kvadratni korijen gravitacije Zemlje, gotovo da dobivate Pi.

π je dio svjetlosnih valova. Valovi stvaraju boju. Valovi stvaraju zvuk. Valovi stvaraju kretanje.

Pronalaženje Pi u prirodi

Beskonačne serije nisu jedini način da se pronađe Pi. Postoje neke cool i zabavne aktivnosti koje sami procijenite pi. Jedna od njih zove se metoda Monte Carlo. Pretpostavimo da radite na mreži 1 na 1. Generirate parove između 0 i 1 da biste točke crtali na koordinatnoj ravnini. Ako nastavite crtati točke, vidjet ćete da će udaljenost nekih točaka od podrijetla biti manja od 1, a neke od njih veća od 1. Nakon nekog trenutka vidjet ćete da dobivate četvrtinu kruga. Ako nađete područje tog četvrtine kruga, to će biti gotovo π / 4. Primjer ispod 1.000 bodova. Možete isprobati odavde.

Monte Carlo simulacija

Ako se ne želite baviti računalnim programiranjem, za to možete koristiti samo olovku i papir. Trebate samo nacrtati krug s polumjerom 1, a zatim nacrtati kvadrat oko kruga. Površina kvadrata mora biti 4, jer je promjer kruga 2. Ako uzmete olovku i zatvorite oči i više puta stavite nasumične točke na papir, na kraju postotak koliko puta je vaša točka pala u krug prići će se π / 4. Tako se ovdje možete osjećati kao Arhimed.

Buffonova igla

Kad nije bilo interneta, djeca su se igrala b i bacila novčić na pod i vidjela je li novčić prelazi crtu ili ne. Francuski filozof i matematičar Georges-Louis Leclerc odlučio je otkriti vjerojatnost da će novčić prijeći liniju. Izuzetna ideja!

Počeo je tako što je spustio iglu na obloženi list papira i utvrdio vjerojatnost da će igla prijeći jednu od linija na papiru. Zatim je mnogo puta pokušao svoj eksperiment s mnogim iglama. Dobio je zapažen rezultat. Vjerojatnost je bila izravno povezana s vrijednošću neprekinutog broja pi jer je 2 puta broj igala koje je ispustio podijeljen s brojem igala koje su prelazile liniju gotovo cijelo vrijeme jednak pi. Zato je napravio formulu:

P: vjerojatnost | n: broj igala | c: broj igala koje prelaze crtu. Zatim;
P = 2n / c

Nakon Leclerca, talijanski matematičar Lazzarini bacio je iglice gotovo 4000 puta kako bi izveo ovaj eksperiment. Dobio je pi sa savršenom točnošću. Stigao je do prvih šest decimalnih mjesta pi (Wikipedia).

Dolje možete provjeriti simulaciju Monte Carla. Gif prikazuje procjenu pi s različitim brojem čačkalica.

Bacanje 1000 igala za procjenu pi [Reddit]

Dan Pi

Nakon duge povijesti proučavanja pi, ljudi su odlučili organizirati službeno slavlje pi u ožujku 14. ožujka. Od 1988. ljudi slave čarobnu konstantu 14. ožujka. Zanimljiva je slučajnost da je Albert Einstein rođen na Pi dan, 14. ožujka 1879. Einstein je na Pi dan objavio i svoju teoriju opće relativnosti.

Googleovi logotipi za Pi dan.

Ukratko, matematika je jezik koji je upisan u mozak svih ljudskih bića. Pi je samo riječ na tom jeziku. John F. Kennedy znao je da mjesec nije beskonačno daleko i stigao je tamo. Vjerujem da će jednog dana veliki matematičari otkriti sve tajanstvene znamenke pi-a.

Volio bih da je Finch bio moj učitelj dok sam bio učenik.