Priroda Beskonačnosti - i šire

Uvod u Georga Cantora i njegov transfinitirani raj

Georg Cantor (lijevo) i njegova legendarna publikacija iz 1874.

Georg Cantor pokazao je kao dijete izrazito umjetnički trag i navodno je bio izvanredan violinist. Njegovo prezime "Cantor" na latinskom znači "pjevač" ili "glazbenik". Kad je 1867. - u dobi od 22 godine - doktorirao na Sveučilištu u Berlinu, imenovao ga je Re re matematikom ars propendi pluris facienda est quam rjendi koja na engleskom glasi „U matematici je umjetnost postavljanja pitanja dragocjenija nego rješavanje problema ”. Kasnije poznat kao legendarno dubok mislilac, Cantor bi odrastao u čovjeka koji se usudio pitati i odgovoriti na jedno od najdubljih i najosnovnijih pitanja svih:

Kolika je beskonačnost?

Obično smatran neodrživim, Cantor je 1870-ih, 80-ih i 90-ih uveo radikalne nove ideje o odgovoru na ovo pitanje koje su postavile teoriju skupova kao novu granu čiste matematike. Ovim se člankom želi upoznati s njegovim najistaknutijim djelom i njegovim implikacijama.

Rani život (1845–69)

Georg Cantor je u izvjesnom smislu imao sreću što se rodio kad je bio, u Sankt Peterburgu, 3. ožujka 1845. Njegovi roditelji bili su Danci. Njegova majka Marie (prezime Meyer) potječe iz obitelji glazbenika ruskog podrijetla, a njegov otac Georg Woldemar bio je vrlo uspješan poslovni čovjek, prvo kao agent za veletrgovinu u Sankt Peterburgu, a kasnije kao posrednik na gradskoj berzi.

Cantorin otac i majka, G.W. i Marie Cantor

Cantor je bio pod velikim utjecajem svog oca, čovjeka velikih kulturnih i filozofskih interesa koji bi mu kroz školske i sveučilišne godine sina davao mnogo smislene savjete o njegovom životu i karijeri. Ipak, prema nekim računima, iako bi prepoznao matematičke sposobnosti svog sina, još uvijek bi tvrdoglavo pokušavao prisiliti svog sina na inženjering kao obećavajuću profesiju od matematike.

Obrazovanje (1860.-69.)

Cantor's ocjene sa 8 godina, kada je pohađao St.Petri-Schule za njemačke ljude u St.Petersburgu.

Cantorina školska karijera bila je poput mnogih nadarenih matematičara - rano prepoznavanje njegovog talenta (prije petnaeste godine) i sve više zanimanje za njegovo studiranje. Već u Sankt Peterburgu, Cantor je primao privatne časove podučavanja. U Njemačkoj je prvo pohađao privatnu školu u Frankfurtu u neklasičnoj školi u Darmstadtu, prije nego što je ušao u gimnaziju Wiesbaden 1860. Diplomirao je s odlikovanjem na Realschule u Darmstadtu, a 1862. započeo sveučilišni studij u Höheren Gewerbschule, gdje je za dva studirao inženjerstvo godina prije nego što se prebacio u švicarski savezni politehnik (ETH Zurich) da bi se bavio matematikom. Nakon smrti svog oca od tuberkuloze sljedeće godine, dobio je značajno nasljedstvo (pola milijuna maraka) i preusmjerio studije na Sveučilište u Berlinu.

Sveučilište Humboldt u Berlinu 1850. (tada Sveučilište Friedricha Wilhelma)

U Berlinu Cantor prisustvovao je predavanjima Ernsta Kummera, Leopolda Kroneckera i Karla Weierstrasssa, čiji je interes za aritmetiku snažno utjecao na njegovo najranije djelo. Godine 1866. Proveo je ljetni semestar na Sveučilištu u Göttingenu, tada glavnom gradu matematičke misli u svijetu. I njegova disertacija „De aequationibus secundi gradus indeterminatis“ iz 1867. i njegova habilitacija „De transformatione formarum ternariarum quadraticarum“ 1869. razmatrali su teoriju brojeva, posebno nerešen problem preostao od Gaussovog Disquisitiones Arithmeticae u vezi s rješenjem neodređene jednadžbe diofantinske jednadžbe² by² + cz² = 0, poznata i kao Legendreova jednadžba.

Georg Cantor oko 1870. godine

Iako je njegovana „strogo klasična disertacija“ hvaljena kao docta et ingeniosa („učena i pametna“), njegovo doba koje nije izdržalo nije nagovještavalo poseban genij. Položio je usmeni ispit magna cum laude. Nakon primitka doktorata. napustio je Berlin kako bi preuzeo položaj privatnog privatnika (predavač koji živi od honorara koje može prikupiti od svojih studenata) na Sveučilištu Halle, zamijenivši svog prijatelja K.H.A. Schwartz (koji je otišao u Zurich) i preuzeo posao pod Eduardom Heineom, tamošnjim profesorom matematike.

Rana karijera (1870–73)

Neki su tvrdili da se prethodni Cantor-ovi prethodni radovi mogu pratiti sve do njegovih najranijih postdiplomskih publikacija. Zapravo, u Cantor-ovom istraživanju posvećenom teoriji trigonometrijskih serija doista se mogu naći tragovi njegova ranog zanimanja za „kontinuum“. Nakon utjecaja i Weierstrassova u Berlinu i Heinea u Halleu, Cantorin prvi rad Über einen die trigonometrischen Reihen betreffenden Lehrsatz („O teoremi o trigonometrijskom nizu“) dovršen je za objavljivanje u ožujku 1870. i postavljen je da „unaprijedi razumijevanje konvergencijska svojstva predstavljanja proizvoljno zadane funkcije pomoću beskonačnog trigonometrijskog niza ”. Polazeći od trigonometrijskog niza i rada na funkcijama složene varijable koju je izvršio Riemann, Cantor je u radu pokazao sljedeću teoremu:

Cantorina teorema jedinstvenosti (1870): Svaka funkcija f: ℝ → ℝ može imati najviše jedan prikaz trigonometrijskim nizom.

Ako je funkcija f (x) predstavljena trigonometrijskim nizom koji je konvergentan za sve x, tada je taj prikaz jedinstven. 1871. godine ojačao je rezultat dokazavši da jedinstvenost vrijedi čak i ako se serija razlikuje u konačnom broju točaka u bilo kojem intervalu. Taj su rezultat prethodno pokušali mnogi najveći umovi, uključujući Heinea, Petera Dirichleta i Bernharda Riemanna, koji su do sada samo mogli pokazati da se drži u određenim ograničenim okolnostima.

Njegov sljedeći rad, objavljen 1872., proširio je rezultat još više. Rad Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trignometrischen Reihen („O generalizaciji teorema iz teorije trigonometrijskih serija“) pruža definiciju granične točke točke skupa P kao bilo koje točke takve da svaka susjedstvo točke sadrži beskonačno mnogo točaka P. Prva derivacija P (označena P ') je skup svih graničnih točaka P, druga izvedenica P' 'skup svih graničnih točaka P', i tako na. Ova je definicija postavila temelj za topologiju postavljenu u točki, koju su kasnije posebno proširili Felix Hausdorff, Émile Borel i Maurice René Fréchet. Cantor je koristio definiciju za poboljšanje svoje teoreme jedinstvenosti, pokazujući da teorem vrijedi čak i ako se trigonometrijski niz razilazi u beskonačnom broju točaka, pod uvjetom da je skup točaka konačnog reda (skup točaka P je konačnog reda ako je , za neki cijeli broj n, n-a izvedenica P⁽ⁿ⁾ od P je konačan skup).

Gledano retrospektivno, rad povezuje Cantorin rani rad u analizi s onim što se sada smatra njegovim najvažnijim radom na proučavanju transfinitetnih skupova, na primjer, u fokusu na beskonačne skupove točaka i definiciji realnih brojeva koje on pruža:

Cantorina definicija stvarnih brojeva ℝ (1872): Realni broj je beskonačni niz racionalnih brojeva:
a₁, a₂, ..., aᵤ, ..
tako da za svaki zadani ε postoji u an takav da za u ≥ u₁ i za bilo koji pozitivni cijeli broj v, | aᵤ₊ᵥ - aᵤ | <ε.

U radu, Cantor raspravlja o ovoj definiciji i uspoređuje je s onima koje su prethodno dali njegovi bivši i sadašnji mentori, Weierstrass u Berlinu i Heine u Halleu. Rezultati su dodali njegovom prethodnom radu i bili su dovoljni za promicanje Cantora u profesora außerorderntlicher (izvanredni profesor) na Sveučilištu Halle 1872. godine.

Dopisivanje s Richardom Dedekindom (1872–73)

Kasnije iste godine Cantor se prvi put susreo s Richardom Dedekindom, koji je u tom trenutku bio profesor matematike na Technische Hochschule u Brunswicku. Dedekind je prethodno objavio članak koji je osigurao aksiomatičnu analizu strukture skupa realnih brojeva ℝ. Njegova je definicija bila stvarnih brojeva kao cjelovitog, uređenog polja. Cantor i Dedekind razmijenili su pisma tijekom niza godina. Matematičke dijelove njihovih pisama kasnije su objavili Noether i Cavailleès (1937), a danas se čuvaju na Sveučilištu u Evansvilleu u Indiani.

29. studenog 1873. Cantor je poslao pismo Dedekindu tražeći da li se zbirka prirodnih brojeva i zbirka pozitivnih stvarnih brojeva "mogu podudarati tako da svaki pojedinac iz jedne zbirke odgovara jednoj, a samo jednoj jedinci druge?" na što je Dedekind odgovorio pisanjem da ne zna odgovor, dodavši, međutim, da to pitanje nije od velikog praktičnog interesa. U ovom se trenutku čini da se Cantor složio s ovom tvrdnjom, rekavši da je njegov interes za to bio povezan sa teoremom Josepha Liouvillea iz 1844. godine koji dokazuje postojanje transcendentalnih brojeva:

Halle, 2. prosinca 1873
Izuzetno mi je bilo drago kad sam primio vaš odgovor na moje posljednje pismo. Postavljam vam svoje pitanje jer sam se pitao o tome već prije nekoliko godina, i nikad nisam bio siguran je li poteškoća koju sam našao bila subjektivna ili je svojstvena temi. Budući da pišete da ni vi niste u mogućnosti odgovoriti, pretpostavljam drugo. Uz to, želim dodati da se nikad nisam ozbiljno zaokupio time, jer to za mene nema poseban praktični interes. I u potpunosti se slažem s vama kada kažete da iz tog razloga ne zaslužuje mnogo napora. Ali bilo bi dobro kad bi se na njega moglo odgovoriti; npr ako bi se moglo odgovoriti sa ne, jedan bi imao novi dokaz Liouvillove teoreme da postoje transcendentalni brojevi.
- G. Cantor

Iz sljedećeg pisma Cantora nekoliko dana kasnije, međutim, čini se da njegovo zanimanje za temu nije baš tako brzo, koliko je izraženo Dedekind-u, iako on u ovom trenutku ne ocrtava neke osobito važne implikacije:

Halle, 7. prosinca 1873
".. U posljednjim danima imao sam vremena da temeljitije istražim pretpostavku o kojoj sam vam govorio; samo danas vjerujem da sam završio s tim; ali ako bih trebao biti prevaren, svakako bih trebao pronaći ne popustljiviji sudac od vas. "

U pismu Cantor dalje nastavlja s prvim nacrtom dokaza zašto se stvarni brojevi ne mogu međusobno dopisivati ​​s prirodnim brojevima. Ne dva dana kasnije, šalje Dedekindu revidirani i jednostavniji dokaz, zajedno s izvinjenjima što nam je vrijeme zauzelo za to:

Halle, 9. prosinca 1873
Već sam pronašao pojednostavljeni dokaz teoreme koji je upravo dokazan, tako da raspadanje niza u (1), (2), (3), ... više nije potrebno. Pokazujem direktno ako započnem s nizom
(i) ω₁, ω₂, ..., ωᵤ,
tada u svakom datom intervalu (α ... β) mogu odrediti broj η koji nije sadržan u (i). Iz toga odmah proizlazi da ukupnost (x) ne može biti jednaka jednosmjernici s ukupnošću (u); i zaključujem da postoje bitne razlike među ukupnostima i skupinama vrijednosti koje do nedavno nisam mogao shvatiti.
Sada te moram zamoliti za oproštaj što sam vam oduzeo toliko vremena ovim pitanjem. Potvrđujući primanje vaših prijateljskih linija od 8. prosinca, dopustite mi da vas uvjerim da mi ništa ne može pružiti više užitka nego da imam sreću da u vama izazove zanimanje za određena pitanja analize.
- G. Cantor

Bilješke o Dedekindsu iz tog razdoblja jasno pokazuju kronologiju događaja:

Brunswick, 7. prosinca 1873
Cantor mi prenosi rigorozni dokaz, nađen istog dana, teoreme da ukupnost svih pozitivnih brojeva ω <1 ne može biti jedan na jedan koji je povezan sa ukupnošću (n).
Odgovorio sam na ovo pismo, primljeno 8. prosinca, istog dana s čestitkama za lijep uspjeh. U isto vrijeme, puno jednostavnije preformulišem jezgru dokaza (koji je i dalje bio prilično kompliciran).
- Richard Dedekind

Postavite teoriju

Općenito je opisana u Stanfordskoj enciklopediji filozofije kao "jedno od najvećih dostignuća moderne matematike", teorija skupova utemeljena je radom koji je proizašao iz djela koje je Cantor radio u razdoblju od 1873. do 1884. Konkretno, porijeklo teorije skupova seže u jedan rad Cantor objavljen 1874. godine, pod naslovom Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, („O svojstvu zbirke svih stvarnih algebričnih brojeva“). Temeljni i najuspješniji rezultat koji predstavlja je neizbrojivost stvarnih brojeva, a kao posljedica toga, pronalazak razlike između brojeva koji pripadaju "kontinuumu" i onih koji pripadaju "zbirci poput ukupnosti stvarnih algebričnih brojeva" , Rad se pojavio u časopisu Journal für die reine und angewandte Mathematik ("Crelle's Journal") neposredno prije nego što je Cantor navršio 30 godina. Kao što je napisao Dedekindu oko dva tjedna nakon što je stigao do svog dokaza:

Berlin, 25. prosinca 1873
".. Iako još nisam htio objaviti temu o kojoj sam nedavno prvi put razgovarao s vama, ipak sam neočekivano bio uzrokovan da to učinim. Svoje rezultate prenio sam Herr Weierstrassu 22., međutim, nije bilo vremena da ulazim u detalje, već 23. kada sam imao zadovoljstvo posjeta od njega, gdje bih mu mogao prenijeti dokaze. Mišljenja je da moram objaviti stvar, barem ako se tiče algebreje Napisao sam kratki rad s naslovom: O svojstvu skupa svih stvarnih algebričnih brojeva i poslao ga profesoru Borchardtu da bude razmatran za Journal fur Math.
Kao što ćete vidjeti, vaši komentari (koje izuzetno cijenim) i vaš način postavljanja nekih točaka bili su mi od velike pomoći. "
- G. Cantor

Na pet kratkih stranica, Cantorin rad predstavlja tri važna rezultata:

  1. Skup stvarnih algebričnih brojeva je mjerljiv; i
  2. U svakom intervalu [a, b] postoji beskonačno mnogo brojeva koji nisu uključeni ni u jedan slijed; i kao posljedica toga
  3. Skup realnih brojeva je neopisivo beskonačan;

Ostatak ovog članka posvećen je objašnjenju implikacija trećeg rezultata, na neizbrojivost stvarnih brojeva. Za to započinjemo s nekoliko temeljnih koncepata.

Što je skup?

"Skup je Mnogo koji dopušta da se o njemu razmišlja kao o Jedinstvu" - Georg Cantor

Skup je skup elemenata. Skup koji se sastoji od brojeva 3,4 i 5 označen je sa {3, 4, 5}. Za veće skupove i radi jednostavnosti često se koristi elipsa ako čitatelj može lako pogoditi što nedostaju elementi. Cantorina originalna definicija "agregata" (skupa), prevedena, glasi kako slijedi:

Cantorina definicija skupa
Pod skupom treba razumjeti bilo koju zbirku u cjelinu M odreenih i zasebnih objekata m naše intuicije ili misli. Ti se predmeti nazivaju M. elementima.

brojivosti

Broj koji se broji je skup s istom kardinalnošću (brojem elemenata) kao neki podskup skupa prirodnih brojeva.

Svojstvo obradivosti važno je u teoriji skupova. Intuitivna interpretacija obradivosti je „listabilnost“, tako da se elementi skupa mogu zapisati u popis. Prirodni brojevi najintenzivniji su prirodni brojevi ℕ, jer su elementi in sami brojevi za brojanje (1,2,3,…). Kao što znamo, oni su beskonačni po broju, pa ih nazivamo "pribrojivo beskonačnim" ili "brojnim". Za ostale skupove, formalno, navodeći da je skup prebrojiv, znači da se elementi skupa mogu staviti u jedno do jedno podudaranje s elementima skupa prirodnih brojeva ℕ, tj. Da:

Brojivi setovi
Skup S je izbrojiv ako postoji injektivna funkcija f od S do prirodnih brojeva ℕ = {1,2,3, ...}. Ako se može naći takav f koji je također surjektivan (i zbog toga bijektivan), tada se S naziva neizmjerno beskonačnim skupom ili brojivim.
Na primjer, za skup parnih brojeva (2n | n ∈ ℕ):
    2 4 6 8 10 ... 2n
    ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
    1 2 3 4 5 ... n
Vidimo da se elementi dvaju skupa mogu međusobno dopisivati ​​jedan s drugim, pa možemo odrediti da je skup parnih brojeva također izradiv.

Svojstvo izbrojivosti omogućuje usporedbu skupova u pogledu broja elemenata koje sadrže bez da se zapravo ništa ne broji i na taj način se daju zaključci o relativnim veličinama i konačnih i beskonačnih skupova. Iz praktičnih razloga ilustrirajmo konačan slučaj zamišljajući učionicu sa 100 mjesta. Ispunjano studentima, može se zaključiti o veličini seta učenika u odnosu na veličinu garniture sjedala. Ako su mjesta slobodna, skup sjedala je veći od seta učenika. Ako nije slobodno mjesto, a neki studenti stoje, veličina skupa učenika veća je od sjedala itd.

Izmjenjivost racionalnih brojeva (1873.)

Cantorina prva objavljena istraga obradivosti skupova dogodila se 1873. kada je dokazao da su racionalni brojevi ℚ (udjeli / omjeri) mjerljivi. Njegov prilično elegantan i intuitivan dokaz glasio je kako slijedi:

Dokaz obradivosti racionalnih brojeva ℚ
Najprije predlažemo da se skup racionalnih brojeva ℚ broji. Da bismo dokazali ovu tvrdnju, uredimo sve racionalne brojeve (omjere prirodnih brojeva) u beskonačnoj tablici kao takvoj:
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
... ... ... ... ...
Dalje, počevši od gornjeg lijevog kuta, pomičite se dijagonalama s lijeva na desno na 45 stupnjeva, počevši od 1/1, zatim 1/2 i 2/1, zatim 3/1, 2/2 i 1/3 i tako dalje na. Zapišite svaki novi broj koji naiđete. Dobivate sljedeće narudžbe:
1/1, 1/2, 2/1, 3/1, 2/2, ...
 1 2 3 4 5 ...
Što nije samo dobro uređenje, već i u korespondenciji jedan na jedan s prirodnim brojevima u njihovom prirodnom redu. To dokazuje brojanje racionalnih brojeva ℚ.

Izmjenjivost stvarnih algebričnih brojeva (1874)

Godinu dana kasnije, u svom radu iz 1884., Cantor je pokazao da su stvarni algebrični brojevi brojljivi. Stvarni algebrični brojevi su stvarni brojevi ω koji zadovoljavaju jednadžbe oblika: aₒ ωᵘ + a¹ωᵘ⁻¹ +… + aᵤ = 0. Točno, stvarni algebrični brojevi su korijeni nulta stvarnih polinoma. Izbrojivi su, tj.

Izbrojivost stvarnih algebričnih brojeva
Zbirka svih algebričnih stvari može se napisati kao beskonačni niz.

Cantor je to pokazao u svom radu iz 1874. godine sljedećim dokazom:

Dokaz usporedivosti stvarnih algebričnih brojeva (1874.)
Za svaku polinomnu jednadžbu oblika

   aₒωᵘ + a₁ωᵘ⁻¹ +… + aᵤ = 0
s cijelim koeficijentima a, definirajte da mu je indeks zbroj apsolutnih vrijednosti koeficijenata plus stupanj jednadžbe:
| aₒ | + | a₁ | + ... + | aᵤ |
Jedina jednadžba indeksa 2 je ω = 0, pa je njezino rješenje, 0, prvi algebrični broj. Četiri jednadžbe indeksa 3 su 2x = 0, x + 1 = 0, x - 1 = 0, i x2 = 0. Oni imaju korijene 0, –1, 1, pa je nove vrijednosti –1 i 1 uključio kao drugi i treći unos na njegovu popisu algebričnih brojeva.
Primjetite da za svaki indeks postoji samo konačno mnogo jednadžbi i da svaka jednadžba ima samo konačno mnogo korijena. Listajući nove korijene prema redoslijedu indeksa i povećanjem veličine unutar svakog indeksa, uspostavlja se sustavna metoda za popis svih algebričnih brojeva. Kao i kod racionalnih osoba, korespondencija jedan na jedan s prirodnim brojevima dokazala je da skup algebričnih brojeva mora biti beskrajno beskonačan.

Neizbrojivost stvarnih brojeva (1874.)

Cantorina najplodonosnija upotreba brojivosti kao koncepta dogodila se u trećem rezultatu njegovog rada iz 1874. godine kada je pokazao bezbrojnost stvarnih brojeva - prvom se pokazalo da nedostaje ovo svojstvo. Realni broj ℝ je vrijednost kontinuirane veličine koja može predstavljati udaljenost duž crte. Bilo koji stvarni broj može se odrediti eventualno beskonačnim decimalnim prikazom, kao što je npr. 8.632, 0.00001, 10.1 i tako dalje, pri čemu se svaka uzastopna znamenka mjeri u jedinicama desetine veličine prethodne. Izjava da se stvarni brojevi ne mogu izračunati jednaka je izjavi:

Nebrojivost stvarnih brojeva
S obzirom na bilo koji niz realnih brojeva i bilo koji interval [α ... β], može se odrediti broj η u [α ... β] koji ne pripada nizu. Stoga se može odrediti beskonačno mnogo takvih brojeva η u [α ... β].

Kao što smo vidjeli iz njegovih razmjena pisama s Dedekindom 1873. godine, znamo kako je Cantor djelovao prema važnom rezultatu. Njegov izvorni dokaz (Cantor-ov prvi dokaz o nesposobnosti) bio je sljedeći i zasnovan je na teoremi o Bolzanu-Weierstrassu:

Dokaz neopisivosti stvarnih brojeva ℝ (1874.)
Pretpostavimo da imamo beskonačan niz stvarnih brojeva,
(i) ω₁, ω₂, ... ωᵥ, ...
pri čemu se redoslijed generira prema bilo kojem zakonu i brojevi se razlikuju jedan od drugog. Tada se u bilo kojem određenom intervalu (α ... β) može odrediti broj η (i prema tome beskonačno mnogo takvih brojeva) tako da se ne javlja u nizu (i).
Da bismo to dokazali, idemo na kraj intervala [α ... β], koji nam je dodijeljen proizvoljno i u kojem je α <β. Prva dva broja iz našeg niza (i) koji se nalaze u unutrašnjosti ovog intervala (s izuzetkom granica) mogu se označiti s α ', β', ostavljajući α '<β'. Slično tome, označimo prva dva broja našeg niza koji se nalaze u unutrašnjosti (α '... β') pomoću α ", β" i pustimo α "<β". Na isti način konstruirajte sljedeći interval i tako dalje.
Ovdje su, dakle, α ', α "... po definiciji determinirani brojevi iz našeg niza (i), čiji indeksi se neprestano povećavaju. Isto vrijedi i za niz β', β", ...; Nadalje, brojevi α ', α "... uvijek se povećavaju, dok se brojevi β', β", ... stalno smanjuju. Od intervala [α ... β], [α '... β'], [α "... β"], .... svaki sadrži sve one koji slijede. Ovdje su moguća samo dva slučaja.
U prvom slučaju je broj tako formiranih intervala konačan. U ovom slučaju, neka je posljednji od njih (αᵛ ... βᵛ). Kako njegova unutrašnjost može biti najviše jedan broj niza (i), iz tog intervala može se odabrati broj η koji nije sadržan u (i), čime se dokazuje teorem.
U drugom je slučaju broj izgrađenih intervala beskonačan. Zatim, budući da se stalno povećavaju, a da ne rastu u beskonačno, brojevi α, α ', α ", ... imaju određenu graničnu vrijednost αʷ. Isto vrijedi i za brojeve β, β', β",. .. jer se stalno smanjuju u veličini. Neka im granična vrijednost bude βʷ. Ako je αʷ = βʷ, čovjek se lako uvjeri u sebe, ako se samo osvrnemo na definiciju intervala da broj η = αʷ = βʷ ne može biti sadržan u našem slijedu (i). Međutim, ako je αʷ <βʷ, tada svaki broj η u unutrašnjosti intervala [αʷ ... βʷ], kao i njegove granice, zadovoljavaju zahtjev da nije sadržan u slijedu (i).

Cantorin dijagonalni argument (1891.)

Cantor je sedamnaest godina kasnije pružio jednostavniji dokaz koristeći ono što je postalo poznato kao Cantorin dijagonalni argument, prvi put objavljen u radu iz 1891. pod naslovom Über eine elemente Frage der Mannigfaltigkeitslehre („O elementarnom pitanju teorije kolefora“). Ovdje ga uključujem zbog svoje elegancije i jednostavnosti. Generalizirani, sada poznati argument glasi kako slijedi:

Dokaz: Cantorin dijagonalni argument (1891.)
U svom radu Cantor razmatra skup M svih beskonačnih nizova binarnih brojeva m i w. Sekvence kao što su:
E₁ = (m, m, m, m, m, ...),
E₂ = (w, w, w, w, w, ...),
E₃ = (m, š, m, š, m, ...),
E₄ = (w, m, w, m, w, ...),
E₅ = (m, m, š, š, m, ...)
Cantor tvrdi da postoji skup M koji nema "dah" niza E₁, E₂, E₃…, što znači da je M različita veličina od zbroja svakog niza En, tj. Da je M iako izgrađen od svih beskonačni nizovi binarnih brojeva m i w, on uvijek može konstruirati novi niz E₀ koji je „i element M i nije element M.“.
Novi niz E₀ konstruiran je korištenjem komplemenata jedne znamenke iz svakog niza E₁, E₂,… En. Dopuna binarnog broja definira se kao vrijednost dobivena pretvaranjem bita u prikaz broja (zamjena m za w i obrnuto). Dakle, novi niz sastoji se od komplementa prve znamenke iz niza E₁ (m), komplementa druge znamenke iz niza E₂ (w), komplementa treće znamenke iz niza E₃ (m) i tako da na kraju nadopunimo n-tu znamenku iz niza En. Iz prethodno navedenih primjera, novi slijed E₀ bi bio:
E₀ = (w, m, w, w, w, ...)
Svojom konstrukcijom E₀ se razlikuje od svakog niza En jer se njihove n-te znamenke razlikuju. Dakle, E₀ ne može biti jedan od beskonačnih nizova u skupu M.

Primjenjuje se radi dokazivanja brojnosti realnih brojeva ℝ:

Dokaz neopisivosti stvarnih brojeva ℝ
Ovaj dokaz je kontradikcija, tj. Pretpostavit ćemo da su stvarni brojevi table brojivi i proizlaze iz kontradikcije. Ako su rezultati pogodni za izračunavanje, mogu se navesti:
1. 657.853260 ...
2. 2,313333 ...
3. 3.141592 ...
4. .000307 ...
5. 49.494949 ...
6. .873257 ...
...
Da bi se dobila kontradikcija, dovoljno je pokazati da postoji neki stvarni α koji nedostaje s popisa. Konstrukcija takvog α djeluje tako što se njegovo prvo decimalno mjesto razlikuje od prvog decimalnog mjesta prvog broja popisa, tako što se drugo decimalno mjesto razlikuje od drugog decimalnog mjesta drugog broja i općenito čineći n. decimalnog mjesta različitog od n. decimalnog mjesta n. broja na popisu.
Još jednostavnije, za naš α napravit ćemo deveti decimalni broj 1, osim ako je već 1, u tom slučaju ćemo ga učiniti 2. Pomoću ovog postupka, na našem primjeru popisa brojeva, dobivamo:
α = .122111 ...
Koji po izradi ne mogu biti član popisa koji smo stvorili. I tako, nasuprot tome, naš popis svih rezultata ne može sadržavati svaki broj, pa tako mora biti i neizbrojan.

Zaključci oba dokaza (1874. i 1891.) su isti - iako su i prirodni brojevi i stvarni brojevi beskonačni brojevi i tako traju zauvijek, nema „prirodnih“ prirodnih brojeva da bi se stvorio jedan na jedan dopisivanje između njih i stvarnih brojeva. Cantorino sjajno otkriće, drugim riječima, rigorozno je pokazalo da beskonačnost dolazi u različitim veličinama, od kojih su neke veće od drugih.

Postoji više stvarnih brojeva nego prirodnih brojeva.

Iz Cantorine prepiske s Dedekindom oko vremena podnošenja izvornog dokaza 1874. godine čini se da je već bio u fazi promišljanja o ovoj konkretnoj implikaciji rezultata, premda se iz poznatih zapisa ne čini da to izričito kaže Dedekind. Međutim, u njegovim pismima iz istog vremena vidimo tragove njegova sjajno stvaralačkog i sumnjičavog uma, kao što je ovaj odlomak iz siječnja 1874., o veličinama skupova različitih dimenzija:

Halle, 5. siječnja 1874. godine
"..Može jedna površina (recimo kvadrat koji uključuje granicu) biti jednoznačno upućena na liniju (recimo segment pravca koji uključuje krajnje točke) tako da za svaku točku na površini postoji odgovarajuća točka crte i obrnuto, za svaku točku crte postoji odgovarajuća točka površine? I dalje mi se čini da je u ovom trenutku odgovor na ovo pitanje vrlo težak - iako je i ovdje toliko poticao da ne govori da ga nitko ne bi želio smatrati da je dokaz gotovo suvišan. "
- G. Cantor

Kad Dedekind ne odgovori izravno na prijedlog, Cantor nekoliko tjedana kasnije ponavlja ispitivanje, ukazujući na svjesnost njegovih smislenih implikacija:

Halle, 28. siječnja 1874. godine
"..Kad dođete okolo da mi odgovorite, bio bih vam zahvalan kad ste imali iste poteškoće kao i ja kad sam odgovarao na pitanje koje sam vam poslao u siječnju o povezanosti crte i površine ili da li obmanujem osobno. U Berlinu mi je prijatelj, kojem sam predstavio isti problem, rekao da je tema bila pomalo apsurdna, jer je očito da se dvije neovisne varijable ne mogu svesti na jednu. "
- G. Cantor

Iz onoga što možemo izvući iz poznatih zapisa, prošle bi tri godine dok Dedekind i Cantor nisu ponovno razgovarali o toj temi. Iz njegovih pisama jasno je da je Cantorina sofisticiranost na temu korespondencije jedan na jedan između beskonačnih skupova u ovom trenutku narasla i da je njegovo razumijevanje njegovih implikacija 1877. griješilo mnogo dublje nego prije:

Halle, 20. lipnja 1877
"..Želeo bih znati da li smatrate da je postupak zaključivanja koji ja koristim aritmetički strog.
Problem je pokazati da se površine, tijela, čak i kontinuirane strukture p dimenzija, mogu međusobno povezivati ​​neprekidnim linijama, tj. Sa strukturama samo jedne dimenzije - tako da površine, tijela, čak i neprekidne strukture p dimenzijama imaju istu snagu kao i krivulje. Čini se da je ta ideja u sukobu s onom koja je osobito prisutna među predstavnicima moderne geometrije, koji govore o jednostavno beskonačnom, dvostrukom, trostrukom,. , , ρ preklopljene beskonačne strukture. (Ponekad vam čak padne ideja da se beskonačnost točaka na površini ili tijelu dobiva tako što se reže ili kocka beskonačnost točaka crte.) "
- G. Cantor

Beskonačni setovi

“Prosvjedujem protiv korištenja beskonačne veličine kao nečeg završenog, što matematika nikada nije dopuštena. Beskonačnost je samo način govora “.
- C. F. Gauss, 1831

Elementi svih skupova s ​​kojima smo se dosad susretali bili su beskonačni u broju, što znači da traju zauvijek. Međutim, također smo pokazali da jedna od njih nije iste "veličine" ili barem da se ne može međusobno dopisivati ​​s prirodnim brojevima. Možda je još paradoksalnije što smo vidjeli da se beskonačni podskup (npr. Parni brojevi) beskonačnog skupa (prirodni brojevi) mogu staviti u korespondenciju jedan na jedan, što stvara osebujno svojstvo beskonačnih skupova, naime da:

Definicija beskonačnog skupa
Skup A je beskonačan ako i samo ako postoji podudaranje jedan na jedan između A i skupa X koji je pravi podskup A.

Ovo svojstvo, koje je skovao Dedekind, izgleda paradoksalno s obzirom na intuitivnu predodžbu da u cjelini uvijek mora biti više elemenata nego u nekim dijelovima (Euclidov tzv. Zajednički pojam 5). To znači da ako dva beskonačna skupa sadrže isti broj elemenata kad postoji:

  1. Dopisivanje jedan na jedan; i
  2. Veličina bilo koje cjeline mora biti veća od veličine bilo kojeg njezinog dijela;

Tada se ne može smatrati da je broj elemenata u beskonačnom skupu mjera njegove veličine. To sugerira da su elementi beskonačnog skupa u smislu "bez broja", s obzirom da ih nikada ne možete prebrojati, ali i zato što pojam broja kao mjere veličine u ovom kraljevstvu ima malo smisla - Sve beskonačno Čini se da se skupovi pojavljuju kao iste veličine ako se dopisivanje jedan na jedan uzima kao pokazatelj istovjetnosti u pogledu veličine skupa.

kardinalni brojevi

Pa kako onda uopće proučavati svojstva i razlike beskonačnih skupova? Nakon što je 1874. godine otkrio postojanje na nebrojivim beskonačnim skupovima, 1878. Cantor se okrenuo općenitijoj studiji onoga što je nazvao moći, odnosno kardinalnim brojevima - istraživanju veličina skupova. Kardinalnost skupa A obično se označava s | A |, ponekad karticom (A).

Cantorina definicija kardinalskih brojeva
Nazvat ćemo se imenom „moć“ ili „kardinalni broj“ M općim pojmom koji, pomoću našeg aktivnog sposobnosti mišljenja, proizlazi iz skupa M kada apstrahiramo od prirode njegovih različitih elemenata m i redoslijedom kojim su dani.

Ili jednostavnije rečeno, kardinalni brojevi su generalizacija prirodnih brojeva koji se koriste za mjerenje kardinalnosti (veličine) skupova. Koristeći svojstvo kardinalnosti, Cantor je mogao formalno odgovoriti na pitanje koje je Dedekindu više puta postavljao, naime može li se kvadrat preslikati na crtu s podudaranjem bodova jednog na jedan na svakoj, tj .:

Teorem: Skup ℝ² svih poredanih parova stvarnih brojeva (to jest stvarna ravnina) ima istu veličinu kao ℝ.

Teorem je nastao iz Cantorinog rada iz 1878. godine Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre („doprinos teoriji mnogobrojnih“) i može se elegantno dokazati na sljedeći / moderan način (pripisuje Julius König):

Dokaz da | ℝ² | = | ℝ |
Dovoljno je dokazati da se skup svih parova (x, y), 0 
x = 0,3 01 2 007 08 ...
y = 0,009 2 05 1 0008 ...
Imajte na umu da su znamenke x i y podijeljene u grupe tako da uvijek prijeđete na sljedeću, nebrojnu cifru. Sada povezujemo (x, y) broj z ∈ (0,1] tako što zapisujemo prvu x-grupu, nakon toga prvu y-grupu, zatim drugu x-skupinu, itd. Dakle, u našem Primjer, dobivamo:
z = 0,3 009 01 2 2 05 007 1 08 0008 ...
Budući da ni x ni y ne pokazuju samo nulu od određene točke, nalazimo da je izraz za z opet decimalno proširenje bez prestanka. Suprotno tome, iz ekspanzije z možemo odmah očitati preimage (x, y), a karta je bijektivna.

Dakle, opet paradoksalno, dvodimenzionalna ravnina ℝ² doista se može preslikati bijektivno (s korespondencijom jedan na jedan) na jednodimenzionalnu liniju ℝ. Induktivno možemo proširiti rezultat na veće dimenzije. Njegova kontratuktivna priroda dovodi Cantor do slavnog najave:

Halle, 29. lipnja 1877
".. Izvinite moju revnost za ovu temu ako vam postavim toliko zahtjeva na vašu ljubaznost i strpljenje; komunikacije koje sam vam nedavno poslao čak su i za mene tako neočekivane, tako nove, da ne mogu imati bez razmišljanja dok ne stignem od vas, poštovani prijatelju, odluku o njihovoj ispravnosti. Sve dok se niste složili sa mnom, mogu samo reći: je le vois, mais je ne le crois pas. "
"Vidim to, ali ne vjerujem u to".

Beskonačni kardinalni brojevi

Kad se Cantor 1878. godine okrenuo proučavanju beskonačnih kardinalnih brojeva, već je bio svjestan postojanja dvije takve „moći“ (Mächtigkeiten): skupova točaka (npr. Prirodni brojevi) i kontinuuma (npr. Stvarnih brojeva). U svom radu iz 1883. pod naslovom Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre ("Temelji opće teorije manire") uveo je razliku između dvije beskonačnosti, transfinite i apsolutne:

Beskonačni brojevi su brojevi koji su "beskonačni" u smislu da su veći od svih konačnih brojeva, ali ne nužno i apsolutno beskonačni.

Apsolutni beskonačni Ω, koji je također uveo Cantor, može se smatrati brojem većim od bilo koje zamislive ili nezamislive količine, bilo konačne ili transfinite. Transfinitirani brojevi su neizmjerni po veličini, dok je apsolut nebrojan. Konkretni transfinitetni brojevi koje je imao na umu bili su oni kojih je postao svjestan proučavanjem brojnosti nekih beskonačnih skupova (npr. Prirodnih brojeva) i nebrojivosti drugih skupova (npr. Stvarnih brojeva). Označio je njihove kardinalnosti ℵ₀ (alef ništa) i ℵ₁ (alef jedan), prva dva, „reda beskonačnosti“, oba manja od apsolutne beskonačnosti Ω.

Hipoteza o kontinuumu (1878)

Ne postoje beskonačni kardinalni brojevi strogo između kardinalnosti prirodnih brojeva ℵ₀ i kardinalnosti realnih brojeva ℵ₁.

Nijedan uvod u Cantor ne bi bio potpun bez rasprave o zloglasnoj hipotezi koja je zauvijek postala povezana sa njegovim životnim djelom, Cantorina kontinuirana hipoteza (CH). Veliki dio njegovog rada na pretpostavci objavljen je u šestom dijelu traktata Über undndliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten („O beskonačnim, linearnim mnogostrukim točkama“) u časopisu Mathematische Annalen između 1879. i 1884.

Georg Cantor (lijevo) i njegov šestodjelni traktat Über undndliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten u časopisu Mathematische Annalen.

Njezin se prvi pojavio u časopisu Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre iz 1878. („doprinos teoriji mnogobrojnih“), u kojem stoji:

Postavlja se pitanje na koji su način različiti dijelovi neprekidne ravne linije, tj. Različiti beskonačni mnogobroji točaka koje se u njoj mogu zamisliti, povezani s obzirom na njihove moći.
Oduzimo ovaj problem njegove geometrijske dimenzije i shvatimo linearnim mnoštvom stvarnih brojeva svaki zamislivi zbroj beskonačno mnogih, različitih realnih brojeva. Tada se postavlja pitanje, na koliko i u koje razrede padaju linearni razdjelnici, ako se razdjelnici iste snage stave u istu klasu, a mnogostruke različite snage u različite klase?
Pomoću induktivnog postupka, čiji precizniji prikaz ovdje neće biti dat, sugerira se teorem da je broj klasa linearnih mnogostrukosti koje ovo načelo razvrstavanja daje konačan i doista jednak dvama.

Znamo kardinalne brojeve 0, 1, 2,. , , i beskonačni kardinalni broj ℵ₀, a nadalje da je kardinalnost stvarnih brojeva veća od ℵ₀. Cantorina tvrdnja u svojoj izjavi o hipotezi kontinuuma jest da je kardinalnost stvarnih brojeva sljedeći transfinitetni broj nakon ℵ₀, tj. Da

c = | ℝ | = ℵ₁

Znači da nijedan skup ne može imati kardinalnost veću od prirodnih brojeva ℵ₀ i manju od c, a c je kardinalnost realnih brojeva. ℵ₁ u tom se smislu nalazi izvan bilo kojeg brojivog broja kardinalnih brojeva osim njega samog, a do njih se može doći „samo“ sabiranjem ostalih kardinalnih brojeva snagom ℵ₁.

Pokušaj dokaza

Cantor je proveo mnoge preostale godine svog života hrvajući se pružajući dokaz da je hipoteza o kontinuumu istinita. Njegova je izravna strategija bila koristiti izvedene skupove P⁽ⁿ⁾ točke skupa P za mjerenje njegove kardinalnosti. Kao što je Bertrand Russell rekao:

Popularno gledano, prva izvedenica sastoji se od svih točaka u čijoj je blizini skupljeno beskonačno mnogo izraza; i daljnji derivati ​​daju, različiti stupanj koncentracije u bilo kojem kvartu. Stoga je lako shvatiti zašto su derivati ​​relevantni za kontinuitet; da bi bila kontinuirana, zbirka mora biti što je više koncentrirana u svakom kvartu koji sadrži bilo koji izraz zbirke.

Budući da postupak uzimanja derivata ne mora nužno završiti nakon neizmjerno neograničenog broja ponavljanja, Cantor je proces nastavio u transfinitet. Kad strategija nije uspjela, Cantor se okrenuo svojoj takozvanoj "neizravnoj strategiji" koja je glavni predmet Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre ("Temelji opće teorije agregata") objavljenog 1883. Strategija se temeljila na njegovoj teoriji o moći kardinalnih brojeva, tj. o uvođenju klase beskonačnih brojeva koji se mogu upotrijebiti za računanje veličine bilo kojeg beskonačnog skupa. Hipoteza o kontinuumu u ovom sustavu prikazala bi se određivanjem gdje snaga kontinuuma leži na "skali" beskonačnih brojeva - da je to prvi neprebrojivi transfinitetni broj.

Cantor bi proveo mnogo godina pokušavajući riješiti hipotezu kontinuuma. Kad je jednog dana pomislio da je pronašao dokaz njegove istine, sutradan je pronašao dokaz njegove neistine: onda je sljedeći put opet pronašao dokaz njegove istine da bi kasnije shvatio da su svi njegovi dokazi nevaljani.

Mentalno zdravlje

Cantor je doživio svoj prvi ozbiljni mentalni slom u svibnju 1884., deset godina nakon što je objavio svoj prvi dokaz o nebrojenosti stvarnih brojeva. Većina povjesničara vjeruje da je slom nastao kao rezultat tekućeg spora koji je Cantor imao s Leopoldom Kroneckerom na Sveučilištu u Berlinu, zajedno s očiglednom neukrotivošću hipoteze o kontinuumu. Kao što možemo pročitati iz pisama koje je Cantor poslao švedskom matematičaru Mittagu-Leffleru, Cantorin prvi kvar dogodio se baš kad se vratio s radosnog putovanja u Pariz gdje je, između ostalih matematičara, upoznao Henrija Poincaréa. Cantor piše kako mu se Poincaré jako svidio i sretan je što je saznao da je veliki čovjek razumio njegovu teoriju o beskonačnom skupu i njegove primjene. Osim toga, piše da je vrijeme provodio obilazeći galerije i muzeje, prepuštajući se ljubavi prema operi i kazalištu. Cantor je slom navodno dogodio ubrzo nakon što se vratio u Njemačku kako bi prisustvovao obiteljskim poslovima.

Ne znamo što je prouzročilo Kantorin slom. Arthur Schoenflies tvrdi da je Cantorina ogorčenost zbog ogromnog protivljenja njegovu djelu, kojem se u Berlinu založio bivši profesor Leopold Kronecker, glavni pokretač njegove nevolje. Kronecker, više nego bilo koji drugi profesionalni matematičar u to vrijeme, bio je najglasniji protivnik Cantorinih ideja sve do Cantorinog papira iz 1874., za koji se Cantor bojao da će Kronecker odgoditi objavljivanje, kao što je to činio jedan od Heineovih članaka , Zbog te zabrinutosti, na Weierstrassov savjet, Cantor je ostavio svoju teoremu o nebrojenosti ispred prvobitne skice članka i tek ju je kasnije tijekom lektoriranja dodao kao napomenu na kraju svog uvoda. Povrh toga, Kroneckerov utjecaj navodi se da je Kantor doveo do korištenja Dedekindove verzije dokaza o brojljivosti stvarnih brojeva, ali namjerno izostavljajući Dedekindov "princip kontinuiteta", što Kronecker nije prihvatio. Navodno je svako jedno od 52 pisma koja je Cantor poslao Mittag-Leffler 1884. godine spomenuo Kronecker po imenu.

Kronecker se u osnovi nije složio s Cantorinim radom na teoriji skupova jer je, između ostalog, tvrdio postojanje skupova koji zadovoljavaju određena svojstva bez davanja primjera određenih skupova čiji su članovi udovoljili tim svojstvima. Kronecker je također priznao matematičke koncepte samo ako su se mogli konstruirati u ograničenom broju koraka od prirodnih brojeva, koje je uzeo za dati. Kronecker je bio Cantorin profesor u Berlinu i vodio je tamošnji odjel za matematiku sve do svoje smrti 1891. Svaki put kad se Cantor prijavio za posao u Berlinu, bio je odbijen, uprkos tome što je u matematičkim krugovima postao poznato ime. Cantorine ideje, u izravnoj suprotnosti s Kroneckersima, na kraju slavno dovode do potonjeg naziva Cantor "pokvarenikom mladosti" koji "mora biti zaustavljen".

Završne godine

Nakon njegove hospitalizacije 1884. nema podataka da je Cantor ponovno primljen u bilo koji sanatorij do 1899. Te godine umro je njegov najmlađi sin, a Cantor je navodno izgubio strast prema matematici. Kad je 1903. Julius König predstavio članak koji je pokušao osporiti osnovne stanare teorije transfinitiranih skupova, Cantor je to shvatio kao veliko javno poniženje. Unatoč tome što je Ernst Zermelo pokazao invalidnost rada manje od dan kasnije, Cantor je ostao potresen i čak na trenutak počeo ispitivati ​​postojanje Boga (Cantor je bio pobožni kršćanin). Događaji su prethodili nizu dodatnih hospitalizacija u razmacima od dvije do tri godine.

Kantor 1917

Unatoč tome što se nastavio tražiti na Berlinskom sveučilištu, Cantor bi do smrti ostao na Sveučilištu Halle. Posljednjih 20 godina svog života proveo je u stanju kronične depresije, braneći svoje kontroverzne ideje o teoriji skupova i valjanosti svojih dokaza, uglavnom protiv kritika drugih matematičara u Njemačkoj. Cantor se povukao 1913., živio je u siromaštvu i trpio je pothranjenost tijekom I. svjetskog rata. U lipnju 1917. ponovno je ušao u sanatorij, gdje je na kraju umro od srčanog udara 6. siječnja 1918. Od konačnog priznanja do smrti, neprestano je pisao svojoj ženi tražeći da mu se dozvoli vratiti kući.

Izgubljeni raj?

Godine 1900. njemački matematičar David Hilbert identificirao je hipotezu o kontinuumu kao jedan od 23 najznačajnija problema za oblikovanje budućnosti matematike u 20. stoljeću. Njegovo se predviđanje pokazalo tačnim, jer su pokušaji drugih matematičara dokazati ili opovrgnuti Kantorovu pretpostavku doveli do nekih od najdubljih djela dosadašnje teorije skupova.

Tek 1940. godine austrougarski logičar Kurt Gödel potvrdio je dosljednost hipoteze kontinuuma pokazujući da se to ne može opovrgnuti ostalim aksiomima teorije skupova. Dvadeset i tri godine kasnije, američki matematičar Paul Cohen utvrdio je svoju neovisnost pokazavši da se hipoteza kontinuuma ne može dokazati iz drugih aksioma teorije skupova. Drugim riječima, pokazali su da je izjava c = independent neovisna o aksiomnom sustavu Zermelo-Fraenkel, općenito prihvaćenom kao najčešći temelj matematike. Dosljednost i neovisnost Cantorine pretpostavke značili su da je moguće izgraditi valjane modele teorije skupova koji bi zadovoljili hipotezu kontinuiteta i druge modele koji to nisu. Shvaćanje postojanja ove i drugih neoborivih izjava promijenilo je prirodu matematike kao stroge, logičke discipline, što je Hilberta 1926. proglasilo u obranu kantorijanske teorije skupova:

"Iz raja, koji je Cantor stvorio za nas, niko nas ne može protjerati" - David Hilbert